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1、湖北省鄂州鄂南高中2024届高三下学期高考模拟数学试卷1本试卷满分150分，考试时间120分钟。2答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置。3考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1下面四个数中，最大的是（）ABCD2从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，则该三位数能被3整除
2、的概率为（）ABCD3若等差数列 的前n项和为S ，且满足 ，对任意正整数 ，都有 则 的值为（）A21B22C23D244已知 的内角 的对边分别为 若面积 则（）ABCD5已知在等腰直角三角形中，点在以为圆心、2为半径的圆上，则的最小值为（）ABCD6已知表示两条直线，表示平面，下列命题中正确的有（）若，且，则；若相交且都在平面外，则；若，则；若，且，则A1个B2个C3个D4个7已知椭圆：与双曲线：（，）有共同的焦点，且在第一象限的交点为，满足（其中为原点）.设，的离心率分别为，当取得最小值时，的值为（）ABCD8古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造
3、无理数. 已知与交于点，若，则（）ABCD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9下列命题正确的是（）A若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数B若散点图的散点均落在一条斜率非0的直线上，则决定系数C数据的均值为4，标准差为1，则这组数据中没有大于5的数D数据12，23，35，47，61的75百分位数为4710如图，在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，D是外一点且B、D在直线AC异侧，则下列说法正确的是（）A是等边三角形B若，则A
4、，B，C，D四点共圆C四边形ABCD面积的最小值为D四边形ABCD面积的最大值为11已知抛物线的准线方程为，过抛物线C的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，则下列说法正确的是（）A以AF为直径的圆与y轴相切B设，则周长的最小值为4C若，则直线l的斜率为或Dx轴上存在一点N，使为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12曲线所围成的封闭图形的面积为 13已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.现将双曲线：上的每个点绕坐标原点沿逆时针方向旋转后得到曲线，则曲线的方程为 14若函数f（x）x3bx2cxd（b，c，dR）恰有两个零
5、点x1，x2，且|x2x1|1，则函数f（x）所有可能的极大值为 .四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15在等差数列中，且等差数列的公差为4.(1)求；(2)若，数列的前项和为，证明：.16为提升基层综合文化服务中心服务效能，广泛开展群众性文化活动，某村干部在本村的村民中进行问卷调查，将他们的成绩（满分：100分）分成7组：.整理得到如下频率分布直方图.(1)求的值并估计该村村民成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)从成绩在内的村民中用分层抽样的方法选取6人，再从这6人
6、中任选3人，记这3人中成绩在内的村民人数为，求的分布列与期望.17如图，在四棱锥中，平面平面，底面为菱形，是的中点.(1)证明：平面平面.(2)求二面角的余弦值.18设抛物线的焦点为，已知点到圆上一点的距离的最大值为6.(1)求抛物线的方程.(2)设是坐标原点，点是抛物线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点（异于点），且是线段的中点，试判断直线是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.19已知函数.(1)当时，证明：是增函数.(2)若恒成立，求的取值范围.(3)证明：（，）.试卷第5页，共6页学科网（北京）股份有限公司参考答案：1D【分析】先根据对数函数单调性求得，然后可判断最大
7、项.【详解】因为，即，所以，故B，C错误；又，所以.故选：D2D【分析】利用排列组合知识求出对应的方法种数，利用古典概型的概率公式直接求解.【详解】从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，有种；要使该三位数能被3整除，只需数字和能被3整除，所以数字为1，2，3时，有种；数字为1，3，5时，有种；数字为2，3，4时，有种；数字为3，4，5时，有种；共24种.所以该三位数能被3整除的概率为.故选：D3C【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质及前n项和公式计算推理得解.【详解】依题意，则，又，则，等差数列的公差，因此数列单调递减，且，即任意正整数，恒成立，所以对任意正整数，都有成立的
8、.故选：C4A【分析】先利用余弦定理的变形：，结合三角形的面积公式，可把条件转化为：，再根据同角三角函数的基本关系和三角形中，可求得.【详解】因为，所以，又由，所以.所以所以，又因为在中，所以.故选：A5B【分析】建立坐标系，先把转化为，其中，再利用两点之间线段最短求解.【详解】如图：建立平面直角坐标系.则，,取.设则.所以，又.故选：B6A【分析】根据线面平行和面面平行逐项判断即可.【详解】对于，若，且，则或相交，故错误；对于和，与也可能相交，均错误；对于，设相交确定平面，根据线面平行的判定定理知，根据平行平面的传递性得知故选：A7D【分析】作，利用椭圆和双曲线定义可表示出，由，可得点的横坐
9、标为，利用勾股定理可得，即，再利用基本不等式可求出最值，并求出此时的值.【详解】如图，作，垂足为M，根据椭圆与双曲线的定义可得，解得，由，可得点的横坐标为，即，由勾股定理可得，整理得，即，当且仅当时等号成立，.故选：D.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的基本性质，属于中档题.8A【分析】建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，求得相关向量坐标，根据，结合向量坐标运算，即可求得答案.【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的坐标系， 由题意得，则，.因为，故，因为，所以（负值舍去），所以，故.又，则，因为，所以，解得，所以，故选：A.【点睛】方法点睛：注意到题目中的垂直关系，由此可以建立直角坐
10、标系，利用向量的坐标运算来解决平面向量基本定理中的参数求解问题.9ABD【分析】对于A，利用中位数和平均数的性质，结合图形分析即可判断；对于B，根据决定系数的定义判断，对于C，设，举出反例即可；对于D，利用百分位的定义判断即可.【详解】对于A，数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，大致如图所示：由于右边“拖尾时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，平均数靠近中点处，此时样本数据的平均数大于中位数，故A正确；对于B：若散点图的散点均落在一条斜率非0的直线上，则变量与变量之间满足线性函数关系，则决定系数，B正确；对于C，不妨设，则，解得，此时，故找到一组数，4，数据中有大于5的数，C错误；对
11、于D，由，故这组数据的上四分位数为47，D正确故选：ABD10ABD【分析】由正弦定理的边角互化即可得到，从而判断A，由余弦定理即可得到，从而判断B，由三角形的面积公式代入计算，即可判断CD.【详解】，根据正弦定理得，即，显然，则，根据题意，有，又，可得，为等边三角形，故A正确；，在中，当时，即，A，B，C，D共圆，B正确又，四边形ABCD面积，则，所以四边形ABCD的面积没有最小值，C错误当，即时，四边形ABCD面积取最大值，故D正确故选：ABD11ACD【分析】A选项，求出抛物线方程，作出辅助线，由抛物线定义求出，得到A正确；B选项，表达出周长，数形结合当A，C与点Q三点共线时，求出最小值
12、；C选项，设直线AB的方程为，联立，设，得到两根之和，两根之积，根据得到方程，求解得到答案；D选项，设，表达出，即存在点使得为定值0，故D项正确【详解】A选项，抛物线的准线方程为，所以，则，所以抛物线，如图，取AF的中点为D，过点D作y轴的垂线，垂足为，则，是梯形的中位线，由抛物线的定义可得，所以，所以以AF为直径的圆与y轴相切，故A正确；B选项，如图，过点A作准线的垂线，垂足为C，交y轴于，根据抛物线的定义可得，所以周长为，由图可知，当A，C与点Q三点共线时，有最小值，最小值为Q到准线的距离为，所以，所以周长的最小值是，故B错误；C选项，设直线AB的方程为，联立，整理可得：，易知，设，可得，
13、解得，解得，因此C正确；D选项，设在x轴上存在一点，则，故当时，即存在点使得为定值0故D项正确故选：ACD【点睛】结论点睛：抛物线的相关结论，中，过焦点的直线与抛物线交于两点，则以为直径的圆与轴相切，以为直径的圆与准线相切；中，过焦点的直线与抛物线交于两点，则以为直径的圆与轴相切，以为直径的圆与准线相切.12【分析】首先判断曲线关于轴，轴对称，从而确定曲线在第一象限内与轴所围成的图形，再求出图形的面积.【详解】对于曲线，在上式中，将y换成得，即曲线关于x轴对称，将x换成得，即曲线关于y轴对称，因此只需考虑在第一象限的情形，当，时曲线即，即，所以曲线在第一象限内与x轴所围成的图形是由半径为的圆去
14、掉一个等腰直角三角形而形成的图形，根据对称性可得曲线所围成的封闭图形为下图阴影部分，所以所围成的封闭图形的面积故答案为：.13【分析】根据定义，在双曲线上设点,求出旋转后点的坐标，然后反求出的坐标，再代入双曲线方程，化简即得.【详解】在双曲线：上任取一点，将其绕坐标原点沿逆时针方向旋转后得到点，即，在曲线上设点，则有反求出，得：因点在双曲线：上，故得：，整理得：，故曲线的方程为故答案为：140，【分析】利用导数研究函数的图象，结合题意可知其中一个极值点就是零点才能满足函数恰好有2个零点的情况，再分类讨论即可得解.【详解】由于，所以， 由于函数恰有两个零点，所以有2个不等实数根，所以的图象呈先增，再减，再增的趋
