《湖南省衡阳市衡阳县2022-2023学年高二上学期期末数学试题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖南省衡阳市衡阳县2022-2023学年高二上学期期末数学试题（解析版）（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2022年高二下学期期末质量检测试题数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 圆的圆心坐标和半径分别是（ ）A. (-1，0)，3B. (1，0)，3C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据圆的标准方程，直接进行判断即可.【详解】根据圆的标准方程可得，的圆心坐标为，半径为，故选：D.2. 如图，在斜棱柱中，AC与BD的交点为点M，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的线性运算用表示出即可得【详解】-，.故选：A3. 过点且倾斜角为的直线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析
2、】【分析】由倾斜角为求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程【详解】解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，所以直线方程为，即，故选：D4. 已知等比数列中，则公比（ ）A. 2B. 2C. 3D. 2或2【答案】B【解析】【分析】由可得，即可求出公比.【详解】设数列的公比为，因为为等比数列，所以，所以，所以，解得故选：B5. 设曲线是双曲线，则“方程为”是“的渐近线方程为”的（ ）A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据的方程为，则渐近线为；若渐近线方程为，则双曲线方程为（）即可得答案.【详解】解：若的方程为，
3、则，渐近线方程为，即为，充分性成立；若渐近线方程为，则双曲线方程为（），“的方程为”是“的渐近线方程为”的充分而不必要条件.故选：B.【点睛】本题通过圆锥曲线的方程主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.6. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据双曲
4、线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.【详解】因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.7. 如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（ ）A. /B. C. /平面D. 平面【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项分析、判断作答.【详解】在正四棱柱中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，令，是底面的中心，分别是的中点，则，对于A，显然与不共线，即与不平行，A不正确；对于B，因，则，即，B正确；
5、对于C，设平面的法向量为，则，令，得，因此与不垂直，即不平行于平面，C不正确；对于D，由选项C知，与不共线，即不垂直于平面，D不正确.故选：B8. 已知数列满足，则数列的前5项和为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出，得到，利用裂项相消法求和.【详解】因为，所以.所以前5项和为故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. （多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（ ）A. 开口向上，焦点为B. 开口向上，焦点为C. 焦点到准线的距离为4D. 准线方程为【答案】A
6、C【解析】【分析】写出标准形式即，即可得到相关结论【详解】由抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为，焦点到准线的距离为4，准线方程为故选：AC10. （多选）已知，是平面内的两个向量，则平面的一个法向量可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】由平面法向量的定义及数量积的坐标运算可得.【详解】因为，是平面内的两个向量，对于A，故正确；对于B，故错误；对于C，故正确；对于D，故错误.故选：AC.11. 等差数列中，公差，且，则实数可能取值为（ ）A. B. C. D. 【答案】AB【解析】【分析】根据等差数列的通项公式将已知条件转化为关于和的方程，分离结合即可求得的范
7、围，进而可得正确选项.【详解】因为等差数列中，且，所以，整理得，因为，所以，所以，所以实数的可能取值为，故选：AB12. 如图所示，棱长为1的正方体中，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ） A. 平面平面B. 不是定值C. 三棱锥的体积为定值D. 【答案】ACD【解析】【分析】A.易证明平面，得到面面垂直；B.转化，再求数量积；C. ,根据底面积和高，判断体积否是定值；D.由平面，判断线线是否垂直.【详解】A.因为是正方体，所以平面，平面，所以平面平面，所以A正确；B.，故，故B不正确；C.，的面积是定值，平面，点在线段上的动点，所以点到平面的距离是定值，所以是定值，故C正确
8、；D.，所以平面，平面，所以，故D正确.故选：ACD【点睛】本题考查点，线，面的位置关系，体积，空间向量数量积的综合判断题型，重点考查垂直关系，属于中档题型.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 记Sn为等比数列an的前n项和若，则S5=_【答案】.【解析】【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查【详解】设等比数列的公比为，由已知，所以又，所以所以【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误14. 已知圆与圆外切，此时直
9、线被圆所截的弦长_【答案】【解析】【分析】将圆的方程写成标准形式，然后根据两圆外切，可得圆心距离为半径之和，可得，接着计算到直线的距离，最后根据圆的弦长公式计算可得结果.【详解】由题可知：，即且由两圆向外切可知，解得所以到直线的距离为，设圆的半径为则直线被圆所截的弦长为故答案为： 15. 已知抛物线，直线与相交于两点，若使得，则_【答案】2【解析】【分析】设，联立直线与方程，可得，的值，同时求出，的值，由，可得，代入各值可得的值.【详解】解：设，依题意得,整理得,所以，可得：，由，且，可得,可得：，整理可得：，可得：，即解得，故答案为：216. 在棱长为6的正方体中，是的中点，是该正方体侧面上
10、的点，且满足，则三棱锥的体积最大值是_.【答案】【解析】【分析】由题意易知，由此可得，在平面上，作，垂足为，设，求出的最大值，说明底面，即可得三棱锥的体积最大值.【详解】如图，在棱长为6的正方体中， ，则平面，平面，又，在平面上，所以，又，所以，所以，即，作，垂足为，设，所以，化简整理得，则时，在正方形中，因为，所以，又在正方体中，平面，所以平面，所以三棱锥的体积最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查了空间几何体的最值问题，考查了线面垂直的性质定理，考查了空间想象能力与计算能力，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在正项等比数列中，且
11、，的等差中项为（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和为【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设出公比，根据条件列方程组求解即可；（2）分组，利用等差等比的求和公式求和.【详解】解（1）设正项等比数列的公比为，由题意可得，解得数列的通项公式为；（2）.【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查等差，等比数列求和公式，是基础题.18. 解答下列两个小题：（1）双曲线：离心率为，且点在双曲线上，求的方程；（2）双曲线实轴长为2，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由可得，再将点代入方程，联立解出答案，可得答案.（2）先求出椭圆的焦点，
12、则双曲线的焦点在轴上，由条件可得，且，从而得出答案.【详解】（1）由，得，即，又，即，双曲线的方程即为，点坐标代入得，解得所以，双曲线的方程为（2）椭圆的焦点为，设双曲线的方程为，所以，且，所以，所以，双曲线的方程为19. 已知圆经过和两点，且圆心直线上（1）求圆方程；（2）从点向圆C作切线，求切线方程【答案】（1） （2）或【解析】【分析】(1)根据弦的中垂线过圆心,联立过圆心的两条直线方程可确定圆心坐标，即可求解;(2)根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即可求解.【小问1详解】由题可知,所以线段的中垂线的斜率等于1，又因为的中点为，所以线段的中垂线的直线方程为，即，联立 解得 ，
13、所以圆心又因为半径等于,所以圆的方程为.【小问2详解】设圆的半径为，则，若直线的斜率不存在，因为直线过点，所以直线方程为，此时圆心到直线的距离，满足题意;若直线的斜率存在，设斜率为，则切线方程为，即，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，解得，所以切线方程为，即.所以切线方程为或.20. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且（1）求；（2）求二面角的正弦值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，设，由已知条件得出，求出的值，即可得出的长；（2）求出平面、的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.【详解】（
14、1）方法一：空间坐标系+空间向量法平面，四边形为矩形，不妨以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则、，则，则，解得，故；方法二【最优解】：几何法+相似三角形法如图，连结因为底面，且底面，所以又因为，所以平面又平面，所以从而因为，所以所以，于是所以所以 方法三：几何法+三角形面积法 如图，联结交于点N由方法二知在矩形中，有，所以，即令，因为M为的中点，则，由，得，解得，所以（2）方法一【最优解】：空间坐标系+空间向量法设平面的法向量为，则，由，取，可得，设平面的法向量为，由，取，可得，所以，因此，二面角的正弦值为.方法二：构造长方体法+等体积法 如图，构造长方体，联结，交
