《湖南省永州市2022-2023学年高二上学期期末数学试题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖南省永州市2022-2023学年高二上学期期末数学试题（解析版）（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、永州市2022年下期高二期末质量监测试卷数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1. 下列直线经过第一象限且斜率为-1的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意利用直线方程的斜截式即可选出答案【详解】满足题意的直线方程通式为：故选：B2. 已知，且，则（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】D【解析】【分析】利用向量垂直充要条件列出关于的方程，解之即可求得的值.【详解】，且，则，则，解之得故选：D3. 若双曲线：的虚轴长为8，渐近线方程为，则双曲线C的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析
2、】【分析】根据虚轴、渐近线的定义求解.【详解】由题可得解得，所以双曲线方程为，故选:C.4. 设数列的前项和为，若，则 （ ）A. 27B. 64C. 81D. 128【答案】C【解析】【分析】利用题给条件即可依次求得的值.【详解】数列的前项和为，则，.故选：C.5. 如图，在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，点M是EG和FH的交点，对空间任意一点都有，则（ ）A. B. C. 2D. 4【答案】D【解析】【分析】证明出四边形为平行四边形，为中点，利用空间向量基本定理求解即可.【详解】E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，故，所以四点共面，且四边形
3、为平行四边形，故为中点，因为，所以，故.故选：D6. 已知抛物线C的焦点为F，准线为l，过F的直线m与C交于A、B两点，点A在l上的投影为D，若，则（ ）A. B. 2C. D. 3【答案】B【解析】【分析】结合图像，分析出点为的中点，从而利用抛物线的定义即可求得结果.【详解】过点作，垂足为，作，垂足为，如图，.又因为，所以四边形为矩形，所以，因为，所以点为的中点，所以，故，由抛物线的定义可得，所以，即.故选：B.7. 已知，是圆：上的动点，则外接圆的周长的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意确定圆：和圆，有公共点，结合圆与圆的位置关系列出不等式可求解.【详
4、解】中点横坐标为，所以外接圆的圆心在上，设圆心为，则半径为，圆心距，圆，又因为在圆上，所以圆与圆有公共点，所以，显然成立，两边同时平方可得，所以，所以所以当且仅当解得时取得等号，所以周长的最小值为，故选:C.8. 如图，瑞典数学家科赫在年通过构造图形描述雪花形状其作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线设原正三角形（图）的边长为，则图中图形的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设图、中正三角形的边长分别为、，图形面积依次记为、，图形分别记为、，图形的边数分别记为
5、、，易得，利用累加法可求得的值.【详解】设图、中正三角形的边长分别为、，图形面积依次记为、，图形分别记为、，图形的边数分别记为、，观察图形可知，且，且，由题意可知，数列是首项为，公比为的等比数列，则，数列是首项为公比为的等比数列，由图可知，图形是在图形的每条边上生成一个小三角形（去掉底边），共增加了个边长为的正三角形，所以，由累加法可得故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9. 已知a，b，c为非零实数，则下列说法正确的是（ ）A. 是a，b，c成等差数列的充要条件B. 是a，b，c成
6、等比数列的充要条件C. 若a，b，c成等比数列，则，成等比数列D. 若a，b，c成等差数列，则，成等差数列【答案】AC【解析】【分析】根据等差中项与等比中项对选项一一验证即可得出答案.【详解】对于选项A：根据等差中项即可得出是a，b，c成等差数列的充要条件，故A正确；对于选项B：，即，又a，b，c为非零实数，所以根据等比中项即可证明a，b，c成等比数列，a，b，c成等比数列，只能证明，即是a，b，c成等比数列的充分不必要条件，故B错误；对于选项C：若a，b，c成等比数列，则，则，则，成等比数列，故C正确；对于选项D：若a，b，c成等差数列，则，无法得到，故D错误；故选：AC.10. 如图，一个
7、底面半径为的圆柱被与其底面所成的角为的平面所截，截面为椭圆，若，则（ ）A. 椭圆的短轴长为B. 椭圆的离心率为C. 椭圆的方程可以为D. 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】利用图中的几何性质即可求出，即可判断的正误，利用二次函数的性质即可求出椭圆上的点到焦点的距离的最小值.【详解】设椭圆的长半轴为，短半轴为，由已知可知，解得，椭圆的短轴长为，故A正确；则椭圆的标准方程为，故C不正确；， ，故B正确；椭圆上的一点为,其中一个焦点坐标为,且， 则该抛物线的对称轴为，故函数在区间上单调递减，当有最小值，此时，即，故D正确.故选：ABD.11. 已知双曲线：的左、右焦点分
8、别为，过点作直线与双曲线的右支交于，两点，若，则（ ）A. B. 点的横坐标为C. 直线的斜率D. 的内切圆的面积【答案】ABD【解析】【分析】根据双曲线的定义得到方程组，求出、，即可判断A，再由等面积法求出，代入双曲线方程求出，即可判断B，再求出直线的斜率，即可判断C，利用直角三角形即内切圆的性质求出内切圆的半径，即可判断D详解】由双曲线：可得，如图所示，由题意知，解得，故A正确；在中，由等面积法知，解得，代入双曲线方程得，又因为点在双曲线的右支上，故，故B正确；由图知当点在第一象限，由对称性可知，若点在第四象限，则，故C不正确；设的内切圆为，圆切于，连接易得，四边形是正方形，故的内切圆半径
9、，对应面积为，故D正确故选：ABD12. 在长方体中，E，F为的两个三等分点，点P是长方体表面上的动点，则（ ）A. 的最小值为B. 的最大值为2C. 的最小值为30D. 的最大值为90【答案】BD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，得到点的坐标，分析出P位于长方体的四个侧面时情况相同，P位于长方体的上下两个平面时情况相同，分两种情况进行求解出，得到最值，并分析出的最大值，举出反例得到C错误.【详解】以A为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，因为，所以，不妨设，故，由对称性可知：P位于长方体的四个侧面时，所处情况相同，不妨设，则，故当时，的最小值为，此时当或2，或1时，的最大值为2，由对
10、称性可知：P位于长方体的上下两个平面时，所处情况相同，不妨设，则，故当时，的最小值为0，当或2，时，的最大值为2，综上：的最小值为0，的最大值为2，A错误，B正确；因为的最小值为0，故的最小值为0，因为，所以的最大值为90，D正确；当点与点重合时，此时，C错误.故选：BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知直线与圆交于，两点，则_【答案】【解析】【分析】求出圆心到直线的距离，再由计算可得.【详解】圆的圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离，所以故答案为：14. 已知数列满足：，则_【答案】1或8【解析】【分析】根据递推关系，对分奇偶即可逐项求解得.【详解】若为偶数，则由可得，
11、若为偶数，则由可得，进而或者，均满足要求，若为奇数，则由可得，不符合要求，舍去，若为奇数，则由可得，不符合要求，舍去，综上或，故答案为：1或815. 在中国古代数学著作九章算术中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）现有一个如图所示的曲池，均与曲池的底面垂直，且，每个底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90，则直线与所成角的余弦值为_【答案】#【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求得直线与所成角的余弦值.【详解】延长AB交CD于O，过点O作平面，以O为原点，分别以OD，OA，OT所在直线为x，y，z
12、轴建立空间直角坐标系.则，则，则，则直线与所成角的余弦值.故答案为：16. 已知双曲线的左、右顶点分别为、，是在第一象限的图象上的点，记，若，则双曲线的离心率_【答案】【解析】【分析】设点，则，且，分析可得，根据可求得双曲线的离心率的值.【详解】设点，则，且，可得，易知点、，所以，则，所以，所以，则，可得.因此，双曲线离心率为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 如图，在正方体中，为的中点（1）证明：直线平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）先利用中位线定理证得，再利用线面平行的判定定
13、理即可得证；（2）建立空间直角坐标系，分别求出与平面的法向量，从而利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【小问1详解】连接直线BD，设直线BD交直线AC于点O，连接EO，如图，因为在正方体中，底面是正方形，所以O为BD中点，又因为E为的中点，所以，又因为平面，平面，所以直线平面【小问2详解】根据题意，以DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图，不妨设正方体的棱长为2，则，故，设平面的法向量，则，即，令，则，故，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为18. 已知等差数列的前项和为，且，（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和【答案】（1） （2
14、）【解析】【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解公差和首项，进而可求通项，（2）根据分组求和，结合等差数列以及等比数列的求和公式即可求解.【小问1详解】设数列的首项为，公差为，由题意得,解得：，所以【小问2详解】因为所以19. 已知抛物线：的焦点为，点在上，且（为坐标原点）（1）求抛物线的标准方程；（2）过点的直线与抛物线交于点A，B两点，若为定值，求实数的值【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由先表示出点坐标，代入抛物线的方程求，得出抛物线的标准方程；（2）设过的直线为，与抛物线的方程联立，得出韦达定理及判别式大于零，把韦达定理代入为定值，求出实数的值.【小问1详解】已知点在上，且，则点在线段的中垂
