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1、浙江培优联盟2024年5月高一联考数学试题注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4考试内容：人教A版必修第一册至必修第二册第8章。一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合，则（ ）ABCD2已知复数满足，则的虚部是（ ）ABC2D3已知角的终边经过点，则（ ）ABCD14正方体的
2、平面展开图如图所示，为四条对角线，则在正方体中，这四条对角线所在直线互相垂直的有（ ）A1对B2对C3对D4对5在中，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6已知函数则函数的零点个数为（ ）A1B2C3D47已知函数在上有最大值，则的取值范围是（ ）ABCD8九章算术是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部在九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且若球的表面积为，则这个三棱柱的表面积是（ ）ABCD二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的
3、选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9如图，在正方体中，为正方形的中心，当点在线段（不包含端点）上运动时，下列直线中一定与直线异面的是（ ）ABCD10已知函数，则（ ）AB在上只有1个零点C在上单调递增D直线为图象的一条对称轴11如图，设，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设，是分别与轴，轴正方向相同的单位向量，若，则记下列结论正确的是（ ）A设，若，则B设，若，则C设，则D设，若与的夹角为，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12已知复数，则在复平面内对应的点位于第_象限13已知函数，若，则_14
4、如图，点是棱长为1的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为_四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（13分）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，（1）求当时，的解析式；（2）求在上的值域16（15分）如图，在矩形中，点为边的中点，点在边上（1）若点为线段上靠近的三等分点，求的值；（2）求的取值范围17（15分）已知的内角，的对边分别为，且（1）求的值；（2）若，且是锐角三角形，求面积的最大值18（17分）如图，正方体的棱长为1，分别为，的中点（1）证明：平面（2）求异面直线与所成角的大小（3）求直线与平面所成角的正切值19（17分）
5、当且时，对一切，恒成立学生小刚在研究对数运算时，发现有这么一个等式，带着好奇，他进一步对进行深入研究（1）若正数，满足，当时，求的值；（2）除整数对，请再举出一个整数对满足；（3）证明：当时，只有一对正整数对使得等式成立浙江培优联盟2024年5月联考高一数学参考答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的12345678CCABBCBC1解：，选C2解：由题意得，选C3解：由题意知，选A4解：将展开图合成一个正方体，易知与垂直，与垂直，故有2对，选B5解：因为，所以，又，所以，或，故选B6解：的零点个数转化为和函数的图象交点个数，它们的函
6、数图象如图所示，故选C7解：，令，因为，要使存在最大值，只需，即，所以，选B8解：设，的中点分别为，连接，取的中点因为三棱柱的底面是直角三角形，所以，分别是，的外接圆圆心连接，因为平面，所以平面，所以为的外接球的球心连接，因为球的表面积为，所以球的半径为1，即，所以，所以，选C二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分91011ABCABDBD9解：如图，由题意易知在平面上，结合答案图分析，易知选ABC10解：，故A正确；当时，则在上只有1个零点，故B正确；当时，不能保证单调递增，故C错误；当时，故
7、D正确11解：若，则，故A错误；若，则，故B正确；，故C错误；，即，解得，所以，故D正确三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12二 解：，所以在复平面内对应的点为，在第二象限136 解：令，显然可得为奇函数，则，所以，所以14 解：因为直线与平面所成的角为，所以点的轨迹在以为顶点，底面圆的半径为，高为1的圆雉的侧面上，又因为点是正方体表面上的一个动点，所以点的轨迹如图所示，则点的轨迹长为四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15解：（1）当时，当时，2分5分（2）当时，单调递增，7分由奇函数性质可得，当时，9分又，11分在上的值域为13分16解：（1
8、），2分，4分7分（2）设，9分，11分，13分15分17解：（1），即，2分，即或6分（写出一个给2分）（2）是锐角三角形，7分则，9分又，当且仅当时，等号成立12分，15分18（1）证明：连接交于点，分别为，的中点，2分平面，且平面，平面4分（2）解：且，与所成角的大小等于6分，即与所成角的大小为8分（3）解：连接，过作于点平面，且平面，又且，平面10分平面，又，且，平面，13分直线与平面所成角的大小等于15分正方体的边长为1，17分19（1）解：，即，4分（2）解：6分（3）证明：，且当时，显然无解8分当时，可得，无正整数解，同理，当和时，也无正整数解11分当，时，13分，由复合函数单调性可得，15分又，当且仅当时，原等式成立17分学科网（北京）股份有限公司
