《湖南省湘潭市两校2022-2023学年高二上学期期末线上联考数学试题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖南省湘潭市两校2022-2023学年高二上学期期末线上联考数学试题（解析版）（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2022-2023学年高二上学期期末考试数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分）1. 已知在空间四边形中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据得到G为CD的中点，再利用平行四边形法则得到，最后代入计算即可.【详解】因为，故G为CD的中点，如图，由平行四边形法则可得，所以.故选：A.2. 若直线的斜率为，且，则直线的倾斜角为（ ）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】根据直线的倾斜角与斜率之间的关系求解即可.【详解】设直线的倾斜角为，因为，所以，当时，即，则；当时，即，则，所以直线的倾斜角为或.故选：C.3. 已知的三个顶点是，则边上的高所在的
2、直线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出边上的高所在的直线的斜率，再利用点斜式方程可得答案.【详解】因为，所以边上的高所在的直线的斜率为，所以边上的高所在的直线方程为，即.故选：B.4. 由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，）下支的部分，且此双曲线两条渐近线方向向下的夹角为，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据已知结合双曲线两条渐近线对称关系可得的倾斜角为，即，则，则，即可得出双曲线的离心率为
3、.【详解】双曲线（，）的渐近线的方程为，双曲线两条渐近线方向向下的夹角为，根据双曲线两条渐近线对称关系可得的倾斜角为，则，则，则该双曲线的离心率为，故选：D.5. 已知圆，过点作圆的切线，切点为，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设与交于点，根据切线的性质及勾股定理求得，再根据等面积法求出，再利用勾股定理求出，从而可得出答案.【详解】解：设与交于点，则且为的中点，圆，化为，则圆心，半径，则，由，得，所以，所以.故选：C6. 已知双曲线1（a0，b0）的两条渐近线与抛物线y28x的准线分别交于M，N两点，A为双曲线的右顶点，若双曲线的离心率为2，且AMN为正三角形
4、，则双曲线的方程为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由双曲线的离心率为2求得其渐近线方程，再由抛物线的准线与渐近线方程求得交点M,N坐标，利用AMN为正三角形列方程即可求得，从而求得双曲线的方程【详解】由双曲线的离心率为2可得：，所以所以双曲线1（a0，b0）的渐近线方程为：，又抛物线y28x的准线方程为：，由得：或，所以,A为双曲线的右顶点，且AMN为正三角形，则：，解得：所以，所以双曲线的方程为故选B【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质及抛物线的简单性质，考查了转化思想及计算能力，属于中档题7. 九章算术是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五商功中记载“斜解立方
5、，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱如图，在堑堵中，P为的中点，则（ ）A. B. 1C. D. 【答案】A【解析】【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，然后得出和的坐标，即可得出答案.【详解】如图，由已知可得，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系.则，.所以，所以.故选：A.8. 在平面直角坐标系xOy中，若抛物线C:y2=2px()的焦点为F，直线x=3与抛物线C交于A，B两点，AF|=4，圆E为的外接圆，直线OM与圆E切于点M，点N在圆E上，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知及抛物线的定义，可求，进而得抛物线的方程，可求，的坐标，直
6、线的方程，可得圆的半径，求得圆心，设的坐标，求得的坐标，结合向量数量积的坐标表示，以及辅助角公式和正弦函数的值域，可得所求范围【详解】解：由题意，设，所以，解得，所以抛物线的方程为，所以直线的方程为，设圆心坐标为，所以，解得，即，圆的方程为，不妨设，设直线的方程为，则，根据，解得，由，解得，设，所以，因为，所以故选：B【点睛】关键点点睛：本题解题关键点是：首先求出圆的方程为，然后利用直线OM与圆E切于点M，求出M点的坐标，引入圆的参数方程表示N点坐标，再根据向量数量积的坐标表示及辅助角公式，可得所求范围.二、多选题（本大题共4小题，共20分）9. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为A
7、B，BC，的中点，点P在线段上，平面EFG，则（ ）A. 与EF所成角为B. 点P为线段的中点C. 三棱锥的体积为D. 平面EFG截正方体所得截面的面积为【答案】ABD【解析】【分析】A选项，如图建立以A为原点的空间直角坐标系，利用空间向量可判断选项；B选项，设平面EFG的法向量为，因平面EFG，则；C选项，因平面EFG，则；D选项，由平面在两平行平面上的交线互相平行可做出截面为正六边形.【详解】以A为坐标原点，以AB，AD，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.A选项，则直线与EF所成角为，故A正确；B选项，设平面EFG的法向量为，则，令，则，设，又，则因平面E
8、FG，则，即，即，则点P为线段的中点，故B正确；C选项，因平面EFG，则点B到平面EFG距离等于点P到平面EFG距离.则，故C错误；D选项，由平面在两平行平面上的交线互相平行，取的中点Q，的中点H，的中点K，连接GQ，QH，HK，KE，则过点E，F，G作正方体的截面，截面为正六边形EFGQHK，边长为，则正六边形EFGQHK的面积为，即截面面积为，故D正确故选：ABD10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，若为上一点，且，则（ ）A. 的虚轴长为2B. 的值可能为5C. 的离心率为3D. 的值可能为9【答案】BCD【解析】【分析】由双曲线标准式确定，可判断A，C是否正确，由双曲线第一定义可判断B
9、，D正确性.【详解】由的标准式可确定：，故C正确，A错误；由双曲线第一定义可知，解得或9，所以BD正确.故选：BCD11. 已知，点P是直线上动点，过点P作的两条切线PA，PB，A，B为切点，则（ ）A. 关于直线l的对称圆方程B. 若Q是上动点，则线段PQ的最大值为C. 线段AB的最小值是D. 若，则点P的轨迹长度为【答案】ACD【解析】【分析】根据圆与切线的相关计算对选项一一验证【详解】对于选项A：设的圆心关于直线l的对称的点为，则，解得：，则关于直线l的对称圆方程，故A错误；对于选项B：Q是上动点，P是直线上动点，则线段PQ的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径，即，无最大值，故B错误；
10、对于选项C：根据题意分析，若线段AB最小，则点P到圆心的距离最小，则此时的切线长为，此时线段AB的长度的为：，故C正确；对于选项D：若，则，则，则点P的轨迹长度为，故D正确；故选：ACD.12. 如图，过抛物线焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，弦AB的中点为M，过A，B，M分别作准线的垂线，垂足分别为、N则有（ ）A. 以AB为直径的圆与相切于点NB. C. D. 的最小值为8【答案】ABC【解析】【分析】由于可判断A，设l的方程为与联立可得即可判断B，根据焦半径公式及均值不等式可判断C，D【详解】，说明N在以AB为直径的圆上，又，所以A正确；设l的方程为与联立可得，所以，则，所以，所以，
11、B正确；，C正确；，则，中，由射影定理可得，则当且仪当时取到，而，D错误故选：ABC三、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 过四点、中的三点的一个圆的方程为_（写出一个即可）.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】利用圆的一般式方程求过三点的圆.【详解】过，时，设圆的方程为，则，解得，圆的方程是：，即；同理可得：过、时，圆的方程是：；过，时，圆的方程是：；过，时，圆的方程是：.故答案：.（、写其中一个即可）14. 如图，正方体ABCA1B1C1D1中，E、F分别为棱C1D1，A1D1的中点，则异面直线DE与AF所成角的余弦值是_【答案】【解析】【分析】分别以DA、DC、DD1为x、y、z
12、轴建立如图所示空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成角的余弦值.【详解】分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为2，则A（2，0，0），F（1，0，2），D（0，0，0），E（0，1，2），=（，0，2），=（0，1，2），设，的夹角为，则异面直线AF与DE所成角的余弦值是故答案为：.15. 在生活中，可以利用如下图工具绘制椭圆，已知O是滑杆上的一个定点，D可以在滑杆上自由移动，线段，点E满足，则点E所形成的椭圆的离心率为_【答案】#【解析】【分析】根据给定条件，建立直角坐标系，结合几何关系求出椭圆方程即可求解作答.【详解】由，得，以点O为原
13、点，直线OD为x轴建立平面直角坐标系，如图，过E作于C，交OA的延长线于P，过A作于B，有轴，而，即，则点B是的中点，且有，因此，即，设，有，于是，整理得点E的轨迹方程为，该椭圆长半轴长，短半轴长，所以点E所形成的椭圆的离心率.故答案为：【点睛】思路点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点.16. 已知抛物线的焦点为，为上的动点，直线与的另一交点为， 关于点的对称点为当的值最小时，直线的方程为_【答案】【解析】【分析】设为的中点，设抛物线的准线为，作，则由抛物线定义知，再分析可得当
14、，三点共线且在，之间时取得最小值，再设方程为，联立抛物线利用韦达定理结合的横坐标为4即可求得直线方程.【详解】设为的中点，连接，设抛物线的准线为，作，垂足分别为，则，又点到直线的距离为，当，三点共线且在，之间时，此时，点的横坐标为过点，故设方程为，代入，得，则当，三点共线时，解得，直线的方程为，此时点在，之间，成立所以当的值最小时，直线的方程为故答案为：四、解答题（本大题共6小题，共70分，17题为10分，18至22题为12分）17. 在直三棱柱中，已知为的中点，.（1）证明：；（2）若底面是等腰直角三角形，求直线与平面所成角正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）先证明平面，再证明平面，从而.（2）利用空间向量，只需求即可.【小问1详解】连接，如图所示.因为为的中点，且，所以.
