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1、第六章 向量空间一 综述向量空间是高等代数最基本的概念之一 ,它用公理化方法首次引进了一个代数系 ,而这种公理化方 法在高等代数以后各章以及在近世代数中将屡次遇到,它是近代数学研究的一个重要方法.本书以后各章如线性变换、欧几里德空间等概念都是直接建立在向量空间定义的基础上的.因此本 章内容又是以后各章学习的基础.二 教学目的 使学生在集合、映射概念的基础上,理解并掌握向量空间的定义、性质和构造,并培养学生用公理化 方法研究代数系的能力.三 重点、难点 教材重点：向量空间的定义、性质 教学难点：向量空间的定义6.1 定义和例子一 教学思考 向量空间的定义是本章的重点和难点,是学生首次接触的一个用
2、公理化方法引进的代数系 .这一节 的教学目的,不仅使学生正确理解和掌握向量空间的概念,而且应该使学生初步了解以集合论为基础运用 公理化方法从具体的代数系抽象出一般的代数系的方法和意义,对此要心中有数,以便在教学中把传授知 识与培养能力结合起来.二 内容和要求1内容：定义、例子及简单性质 2要求：掌握向量空间的概念及其简单性质,初步了解公理化的思想方法.三 教学过程1 引例 三维几何空间的实质及更多的类似结构的代数对象（略）. 2定义及例子定义1令F是一个数域,F中的元素用小写拉丁字母a,b,表示；令V是一个非空集合,V中元素用小写希腊字母a,卩,Y，表示我们把V中的元素叫做向量,F中的元素叫做
3、纯量若下列条件满足,就称V是F上的一个向量空间.1）在V中定义了一个叫加法，对V中任意两个向量a,卩都有V中唯一确定的向量与它们对应，这个向量叫做a与0的和，记为a +卩.2）有一个纯量乘法，对于F中的每一个数a和V中每一个向量a，有V中唯一确定的向量与它们对 应,这个向量叫做a与a的积，记为aa .3）向量的加法和纯量乘法满足下列算律：Va,卩,y g V;a,b g F有（1）a + 0 = 0 +a ；（2）（a + 0） + y =a + （0+y）；（3）在V中存在一个向量叫零向量，积作o ；它满足对Va g V有O+a=a ；（4）对Va g V , %g V使得a + a=o ；
4、这样的a 叫做a的负向量；（负向量的定义）(5) a(a + B) = ad + aP ；(6) (a + b)a = ad + ba ；(7) (ab)d = a (ba)；(8) la =d .3向量空间的简单性质1) 由于向量的加法满足结合律，所以任意n个向量相加有唯一确定的含义且可写为不加括号的和的 形式；再者由于加法满足结合律和交换律，所以在求任意n个向量的和时可以任意交换被加项的次序.2) 命题6.1.1 (零向量、负向量的唯一性)在一个向量空间V中，零向量是唯一的；对Va e V ,a的负向量是由a唯一确定的.(同一法，略)3) 命题 6.1.2 对 Va e V , Va e
5、F 有0a o, aO = o ；a (a) (a)a aa ；aa o n a 0 或 a =o .4介绍一种写法-(向量矩阵的记法)设a ,a，,a eV ,把它们排成一行写成一个以向量为元素的1 x n矩阵(ai , a2，,a ),设12 n12 nA=(a ) eM (F)；定义(a ,a，,a)A (P ,P，,P )，其中卩= a a ,(1 j 2）线性相关的充要条件是其中某个向量是其余向量的线性组 12r合.（证略）2向量组的等价、替换定理定义4设乞,a，,a 和$ ,0，,0 是V中的两个向量组,若每个a （i二1,2,r）都可以12 r 12 si由0 ,0，,0线性表示
6、,而每个0 （j二1,2,s）也可以由a ,a，,a线性表示，则称这两个向量组 12 sj12 r等价.定理6.36 （替换定理）设向量组乞,a，,a （1）线性无关,且每个a （i二1,2,r）都可以由12 ri吊,0，,0 / （2）线性表示.则12 sA）r s ；B）必要时对（2）中向量重新编号,使得用a ,a，,a替换0 , 0，0后得向量组12r12 ra ,a，,a ,0 ，,0 J（3）与（2）等价.12r r+1s推论6.3.7两个等价的线性无关向量组含有相同个数的向量.3极大无关组（讨论一个非零向量组的一种部分组）定义5向量组a ,a，,a 是向量组& ,a，,a 的一个部
7、分组（r n ），若满足：1）i1 i2ir1 2na ,a，,a线性无关；2）每个a （ j二1,n）都可由a ,a，,a线性表示.则称a ,a，,ai1i2irji1i2iri1i2ir是向量组a ,a，,a 了的一个极大线性无关部分组（简称极大无关组）.12n极大无关组的求法：1） 一般方法一一设给定乞,a，,a ，求其一个极大无关组.先从a考虑，若a HO，保留；考虑12n11a，a看其是否线性无关无关，保留；相关舍去a，考虑a ,a看其是否线性无关依次类推直至a，便12213n得.（由于考虑次序不同可得不同的极大无关组）例4求向量组i,x,x + 2,x2 + 2x + 3）的一个极大无关组.（解略）2）特殊方法一一对Fn中向量组乞,a，,a ，求极大无关组.12n首先:可以证明“命题”：设M （F）的矩阵A经过行的初等变换得到M （F）的矩阵B，则A与nxmnxmB 的列向量有相同的线性关系.”（证略） 这样可得：A）求a ,a，,a e F的线性关系,可以以a ,a，,a列作矩阵A，通过对A作行初等12m12m变换化为标准形B，由B的列向量的线性关系可得A的列向量的线性关系进而 B）用上述方法可求Fn中向量组x ,a，,a 的极大无关组.12n例5求R3中向量组巴=（l,2,l）,a广（2,1,3）
