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1、第一章 极限、连续与间断本章主要知识点l 求极限的几类主要题型及方法l 连续性分析l 间断判别与分类l 连续函数的介值定理及应用一、求极限的七类题型这里介绍前五类，后两类在相应的章节（洛必达法则，变限积分）再作相应介绍。（1）题型I 方法：上下同除以的最高次幂例1.3解：原式=例1.4解：原式=例1.5 解：原式=1（2）题型II 原式=例1.9解：令，原式=例1.10. 解：a+2+b=0,原式= a=2,b=-4 （3）题型III若，有界例1.11. 解：因为0，而有界，所以 原式0。例1.12解：因为（），有界，所以原式0例1.13解因为，有界；原式0。（4）题型IV 识别此类题型尤为重
2、要，主要特征为未定式步骤如下：例1.14解：原式例1.15解：原式例1.16解：原式=（5）题型V 等价无穷小替换替换公式： 替换原则：乘除可换，加减忌换。例1.17错解：=0例1.18解：原式=-20例1.19解：原式=例1.20解：令，则原式例1.21 解：原式=例1.22. 解：原式=例1.23. 解：原式=例1.24. 解：原式=（6）题型VI 洛必达法则（见导数相关内容）；（7）题型VII 变上限积分有关积分（见积分相关内容）；二、极限应用连续性分析定义：变形：,其中分别表示左、右极限。例1.26，若在处连续，求解： 由得：故为任意实数三、极限应用间断识别及分类1识别方法：可能间断点
3、应是其定义域中不能取值的端点或分段点。2分类方法： （a），为可去间断；（b），为第一类间断，或称跳跃型间断；（c）、至少有一个不存在，为第二类间断；特别地，若左右极限中至少有一为，则为第二类无穷间断。例1.29解：间断点为，,对于， ,因为，所以为可去间断。对于，当，即，可去间断；对于，当，即，,可去间断； 当，为第类无穷间断。例1.30解：间断点，0 ， 。 在为类无穷间断。 ，x=0为可去间断点。例1.31解： 定义域为 。 间断点为 。 因为， 所以均为的类无穷间断。例1.32解： 定义域为，间断点为 对于，为第类无穷间断； 对于， ，为第类间断。注：对仅考虑了其一个单侧极限。例1.3
4、3解：间断点是：，x=0是可能间断点。对于x=0，f(0+0)=,f(0-0)=,x=0为第类间断；对于为第类间断；对于x=2,f(2-0)=0,f(2+0)=，为第类间断。注：分段函数左右支分别识别，分段点单独考虑。四、连续函数介值定理定理：在闭区间内连续，且，则在至少有一零点，即存在，使得。应用此定理需要注意以下几点：(0) 如何定义。 区间的选择，在证明题过程中，有明确的线索。 验证在闭区间上的连续性， 验证在两端的符号。 此定理不能确定是否具有唯一零点，但有唯一性的要求时，应验证 在内的单调性（参见导数应用部分）例1.34证明：在内有一实根证：构造，易知在上连续，且，故 ，由连续函数介
5、值定理知，在有实根，即命题得证。例1.35证明至少有一正根证明：令， 在内连续，且， 由闭区间连续函数介值定理得，在至少有一根，即命题得证。五、数列极限定理：对充分大的n成立，如果，那么 。例1.36 解：因为，所以，原式=1/2。第二章 导数计算及应用本章主要知识点l 导数定义l 复合函数求导,高阶导数,微分l 隐函数,参数方程求导l 导数应用一、导数定义函数在处导数定义为 左导数 右导数 导数 存在有限且分段点求导必须应用定义。两个重要变形：1. 2. 若存在，例2.1. 若，求解：例2.2. 若求解：例2.3 求解： 所以不存在. 例2.4，求解： 所以不存在。例2.5 求。解： 不存在
6、所以 不存在 例2.6如果，分析函数在x=0处的连续性。解： 所以 f(x)在x=0处不连续。二、复合函数求导、高阶导数、微分1复合函数中的层次关系识别正确识别复合函数构建的层次是快速准确求导复合函数的关键。下列通过几个例子来说明复合函数层次识别问题。例2.7由外及里分为四层：例2.8分为一层： 例2.9分为三层：立方例2.10分为四层：化分清层次的同时，要注意每一层符号下的变量是什么，不可混淆。2、复合函数的求导原则我们将求导的所谓“链式规则”等价转化为求导“口诀”：“外及里；号变号；则用则；层间乘”。例2.11，求，解：例2.12，求；解：例2.13，求；解：例2.14，求解： 分段函数求
7、导时，要切记对于分段点的导数要用定义。例2.15，求解：，综合得，。例2.16. ，求解：，所以不存在。例2.17. 已知，（1）求；（2）研究在处的连续性。解：（1），。（2），不存在，故在处不连续，且为II类间断。3. 高阶导数与微分（1）高阶导数，几个常用公式（1）（2）（3）（4）（5）莱伯尼兹公式 例2.18. ，求解：例2.19. ，求解：例2.20，求解：例2.21 ，求解：例2.22，求解：例2.23，求解：（2）一阶微分定义：对于函数，如果存在常数，使得：则称在处可微。成立：在可导可微，且。可作为微分求解公式。例2.24，求解：。例2.25，求。解：，例2.26，求解：，故，
8、所以。例2.27利用微分近似计算。解：令，则=。4、求导中若干特别问题（1）奇偶函数导数结论：奇（偶）函数的导数为偶（奇）函数。例2.28f（x）为奇函数，。例2.29 f(x)为可导函数，则的导数为（偶函数）。（2） （3），在xa导数最大阶数等于m+n-1.例2.30 导数最大阶数为（1阶）。（4）例2.31 求解： （5）符号型求导例2.32. ,求。解：三、隐函数、参数方法求导1隐函数求导由方程确定的函数，隐函数求导可看成复合函数求导的特例。例2.33由确定隐函数，求。解：方程两边对求导得例2.34由方程确定隐函数, 求.解： 方程两边对求导，得： （*）=，（*）式再对求导，得：例2
9、.35已知由方程确定，求.解： 将代入，得到。方程两端对求导，得，。2参数方程求导 问题： ,求,.求导公式： =，=.例2.36已知 求,.解：=，=.例2.37已知，求，并给出时的切线法线方程.解: =,=，斜率=，切线方程为。法线斜率，法线方程为：例2.38 已知由确定，求。 解：将方程中分别看成为的函数，分别对求导得 解得： =，=所以 =。四、导数应用（a）斜率和几何应用（b）洛必达法则求极限（c）函数单调性,凹凸性,极值与拐点,渐近线（d）最大值，最小值与实际应用（e）微分中值定理的应用（f）证明不等式1斜率与几何应用函数在处导数为切线斜率，即,过点的切线方程为=。法线方程为=。例
10、2.39，求过的切线方程。解：， 切线方程为=。例2.40过点引抛物线=的切线，求切线方程。解：设切点为，因=， ， 切线方程为=，因为亦在切线上，所以=，所以，切线方程为 =。图示2.1例2.41问函数=哪一点上的切线与直线=成600角？解：设切线斜率为，=，=， =，= 解得：=，=，解得：=.2洛必达法则 洛必达法则是导数对极限的应用，归结为求极限问题的题型六。它是求极限问题非常重要的一个题型。 洛必达法则：若且在的邻域附近可导。如果成立则。注：洛必达法则处理的形式必须是未定式。对于,，等必须变形为形式。洛必达法则是一个充分性的法则，若不存在，则说明此方法失效。洛必达法则只要前提正确，可
11、重复使用。一般而言，洛必达法则和求极限题型五配合使用效果会更佳。注意其和连续，可导概念结合的综合题。例2.42解：原式=例2.43 解：原式=例2.44解：原式例2.45解：原式=例2.46解：原式=例2.47解：原式= 例2.48 解：由罗必塔法则，原式 这不说明原式不存在，仅说明洛必达法则对此题无效。 原式= 例2.49解： 例2.50解： 原式=例2.51 解：原式=例2.52设有二阶连续导数，且，。证明：有一阶连续导数。解：当时，在处连续 ： 因所以，故在=0处连续。综上所述g(x)有一阶连续导数。3函数单调性、凹凸性、极值、拐点及渐进性a、 单调性 如果则在上严格单调增加，则在上严格
12、单调减少。满足 的点称为驻点。b、 极大值，极小值判别:如果在的附近，当，单调增加，单调减少，则在取得极大值，反之取极小值。判别II：如果在邻域存在两阶导数，且取极小值，取极大值。极值点可能出现在驻点或导数不存在的点上。c、 凹凸法 在上存在，如果，则在上向上凹；，则在上向上凸。d、 拐点凹凸性发生改变的界点称为拐点。它可能出现在的点或不存在的点。e、 渐进线如果，则的水平渐近线；如果，则为的垂直渐近线。有了以上的准备知识，分析函数的单调性，凹凸性，极值，拐点，的问题流程为（1） 求定义域，渐近线；（2） 计算, ；（3） 求，的点和找出使, 不存在的点，设为 ；（4） 列表分析；（5） 结论。例3.53分析函数的单调性，凹凸性，极值，拐点及渐近线。解：（1）定义域为， 渐近线：因 ，即轴为水平渐近线 （2） ，由得，由得（3）列表分析2极大值拐点（4）在上单调上升向上凸
