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1、P-ABCD 与第六讲立体几何新题型的解题技巧考点1 点到平面的距离 例1 (2007年福建卷理)如图，正三棱柱 abc ABCi的所有棱长都为2 , D为CCi中点.(I)求证：AB1丄平面ABD ；(H)求二面角 A A,D B的大小;(川)求点C到平面ABD的距离.例2.( 2006年湖南卷)如图，已知两个正四棱锥Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.(I )证明PQ丄平面ABCD ;(n )求异面直线 AQ与PB所成的角；(川)求点P到平面QAD的距离.考点2 异面直线的距离 例3已知三棱锥S ABC，底面是边长为 4 2的正三角形，棱SC的长为2，且垂直于底面.E、D分别为BC、A
2、B的中点，求CD与SE间的距离.考点3 直线到平面的距离如图，在棱长为2的正方体ACi中,G是AA的中点，求BD到平面GBQi的距离.考点4 异面直线所成的角例5（ 2007年北京卷文）如图，在RtAAOB中，OAB n，斜边AB 4 . Rt AOC可以通过RtA AOB 6以直线AO为轴旋转得到，且二面角 B AO C的直二面角.D是AB的中点.(I) 求证：平面COD 平面AOB;(II) 求异面直线 AO与CD所成角的大小.例6 . (2006年广东卷)如图所示,直径.AD与两圆所在的平面均垂直，=AC = 6 , OE AD .(I )求二面角B AD F的大小；AF、DE分别是O
3、O、O Oi的AD = 8,BC是O O的直径，AB(n )求直线BD与EF所成的角.考点5 直线和平面所成的角 例7. (2007年全国卷I理)SBC四棱锥S ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面AB 2， BC 2 2，SA SB 、3.(I)证明 SA BC ；(n)求直线SD与平面SAB所成角的大小.考点6 二面角 例8 . (2007年湖南卷文)如图，已知直二面角PQ , A PQ , B , C , CA CB , BAP 45,Q直线CA和平面 所成的角为30.(I) 证明BC丄PQ ；(II) 求二面角B AC P的大小.例9 . ( 2006年重庆卷)如图，在四棱锥 P
4、 ABCD中，PAABCD, DAB 为直角，AB |CD, AD=CD=2 AB, E、F 分另U为CD的中点(I) 试证：CD 平面BEF;(n)设PA = kAB,且二面角E-BD-C的平面角大于30，求 k的取值范围考点7 利用空间向量求空间距离和角Di例10 . (2007年江苏卷)如图，已知 ABCD ABQD!是棱长为3的正方体，点E在AA上，点F在CC1上，且AE FC11.(1) 求证：E, B, F , Di四点共面；2(2) 若点G在BC上，BG ，点M在BBi上，3GM丄BF，垂足为H，求证：EM丄平面BCCBi ；(3) 用 表示截面EBFDi和侧面BCCiBi所成的
5、锐二面角的大小，求 tanMN是它们的公垂线段，点ABN例ii . (2006年全国I卷)如图，li、12是互相垂直的两条异面直线,在 Ii 上，C在 12上，AM =MB = MN(I)证明 AC NB ;(II )若 ACB 60，求NB与平面ABC所成角的余弦值考点8简单多面体的有关概念及应用，主要考查多面体的概念、性质，主要以填空、选择题为主，通常结合多面体的定义、性质进行判断例12 .如图(1)，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，当这个正六棱柱容器的底面边长为 时容积最大.G、H、I、J 分别为 AF、GHA与BJ所成角
6、的度数为例13 .如图左，在正三角形 ABC中，D、E、F分别为各边的中点,AHDAD、BE、DE的中点，将 AbC沿E、EF、DF折成三棱锥后,CA、90B、60C、45AiDiBCA例 14.长方体 ABCD AiBiCiDi 中， 设对角线DiB与自Di出发的三条棱分别成 a、氏求证：COS 2 a+ COS 2 3+ COS 2= i 设DiB与自Di出发的三个面成a 3 角，求证:COS 2 a+ COS 2 3+ cos 2= 2考点9.简单多面体的侧面积及体积和球的计算例 15.如图，在三棱柱 ABC AiBiCi 中，AB = 2 a, BC = CA = AAi = a,Ai
7、在底面AABC上的射影 0在AC上 求AB与侧面ACi所成角；Ci 若O恰好是AC的中点，求此三棱柱的侧面积A成的二面角为30。，则四棱锥A MNCB的体积为 （）373A、-B、C、. 3D、322CAB = 3 , AD = 1，又 PA丄 AB , PA=A例16.等边三角形 ABC的边长为4, M、N分别为AB、AC的中点，沿 MN将MMN折起，使得面 AMN与面MNCB所例17.如图，四棱锥 P ABCD中，底面是一个矩形,4，/PAD= 60 求四棱锥的体积； 求二面角P-BC- D的大小.B.D. arcs in 一4BiDB【专题训练与高考预测】、选择题1.如图，在正三棱柱 A
8、BC-AiBiCi中，已知 AB=1 , D在BBi上,且BD=1，若AD与侧面AAiCCi所成的角为，则 的值为A. 3C. arcta n42 .直线a与平面 成 角，a是平面 的斜线，b是平面内与a异面的任意直线，则 a与b所成的角()A.最小值，最大值B. 最小值，最大值一2C. 最小值，无最大值D. 无最小值，最大值45角，则此直线与二面角3. 在一个45的二面角的一平面内有一条直线与二面角的棱成的另一平面所成的角为（）A. 30B. 45C. 60D. 904.如图，直平行六面体ABCD-AiBiCiDi的棱长均为2,BAD 60，则对角线 AiC与侧面DCC1D1所成的角的正弦值
9、为（）A.B.5 .已知在 ABC 中，AB=9 , AC=15 ,顶点的距离都是14，那么点P到平面A. i3B. iiCCiBAC 120，它所在平面外一点 P到ABC三ABC的距离为（C. 9D. 76 .如图，在棱长为 3的正方体 ABCD-AiBiCiDi中，M、别是棱AiBi、AiDi的中点，则点B到平面AMN的距离是（A.B.C.D.7 将QMN60,边长MN =aCiA的菱形MNPQ沿对角线NQ折成60的二面角，则MP与NQ间的距离等于（、3A. a3B. a4.6C. a4.3D. a48 .二面角l的平面角为120，在内，AB I于B,AB=2,在内，CD I于D , CD
10、=3, BD=1, M是棱I上的一个动点，则 AM + CM的最小值为（）A. 2 .5B. 2 2C. . 26D. 2 69 空间四点A、B、C、D中,每两点所连线段的长都等于a,动点P在线段AB 上,动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为（）1A. a2B.,2 a2C.D.a10 .在一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为a ，现有一张正方形包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小边长应为（）A.(,2、.6)a B.a C.2(13)aD.11 .已知长方体 ABCD-AiBiCiDi 中，AiA= AB=2，若棱AB上存在点P,使 DiP PC ,则棱AD的
11、长的取值范围是 （）A. 0,1B. 0,、2C. 0,2D. 1, . 212 .将正方形 ABCD沿对角线AC折起，使点D在平面ABC夕卜，则DB与平面ABC所成A. 30B. 45C. 60CiC的角一定不等于（）D. 90二、填空题1.如图，正方体ABCD-AiBiCiDi的棱长为1 ,E是AiBi的中点，则下列四个命题：1 E到平面ABCiDi的距离是一；2 直线BC与平面ABCiDi所成角等于45 ; 空间四边形ABCDi在正方体六个面内的射影围成1面积最小值为一;2BE与CDi所成的角为arcsin上一0i02 .如图，在四棱柱 ABCD-AiBiCiDi中，P是AiCi上的动点
12、，E为CD上的动点，四边形 ABCD满时，体积Vp AEB恒为定值（写上你认为正确的一个答案即可）3 边长为i的等边三角形 ABC中，沿BC边高线AD折起，使得折后二面角 B-AD-C为60。，则点A到BC的距离为点D到平面ABC的距离4 .在水平横梁上 A、B两点处各挂长为 50cm的细绳，AM、BN、AB的长度为60cm ,在MN处挂长为60cm的木条，MN平行于横梁，木条的中点为O,若木条绕过O的铅垂线旋转60。，则木条比原来升高了5 多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的如图正方体的一个顶点A在 平面内.其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别是i、2和4. P
13、是正方体其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：3 :4 ;35;6:7.以上结论正确的为.（写出所有正确结论的编号.）6.如图，棱长为im的正方体密封容器的三个面上有三个锈蚀的小孔:? 03(不计小孔直径)Oi、02、03它们分别是所在面的中心如果恰当放置d-k容器，容器存水的最大容积是 m3.三、解答题1. 在正三棱柱 ABC AiBiCi中，底面边长为 a,D 为BC为中点，M 在 BBi上，且1BM= BiM，又 CM 丄ACi;3(i )求证：CM 丄 CiD;(2 ) 求AAi的长.2 . 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面是矩形且 AD=2 , AB=PA= .2 , PA丄底面ABCD ,E是AD的中点，F在PC上.(1) 求F在何处时，EF丄平面PBC ;(2) 在(1)的条件下，EF是不是PC与AD的公垂线段若是，求出公垂线段的长度；若不是，说明理由；(3) 在(1)的条件下，求直线 BD与平面BEF所成的角3.如图，四棱锥S ABCD的底
