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1、常考问题19几何证明选讲真题感悟1(2013江苏卷)如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC2OC.求证：AC2AD.证明连接OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以ADOACB90.又因为AA，所以RtADORtACB.所以.又BC2OC2OD，故AC2AD.2.(2012江苏卷)如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BDDC，连接AC，AE，DE.求证：EC.证明连接OD，因为BDDC，O为AB的中点，所以ODAC，于是ODBC.因为OBOD，所以ODBB于是BC.因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位
2、于AB异侧的两点，所以E和B为同弧所对的圆周角， / 故EB.所以EC.考题分析高考对本内容的考查主要有：(1)三角形及相似三角形的判定与性质；(2)圆的相交弦定理，切割线定理；(3)圆内接四边形的性质与判定；(4)相交弦定理，本内容考查属B级要求.1(1)相似三角形的判定定理判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个
3、三角形相似(2)相似三角形的性质相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方(3)直角三角形的射影定理：直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项；斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项2(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数3(1)圆内接四边形的性质定理：圆的内接四边形的对角互补；圆内接四边形的外角等于它的内角的对角(2)圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆4(1)
4、圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径(2)圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线(3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角(4)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等(5)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项5证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进行线段替换或等比替换6圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用.
5、热点一相似三角形的判定及性质【例1】 如图，已知圆上的弧AB，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点证明：(1)ACEBCD；(2)BC2BECD.证明(1)因为AB，所以ABCBCD.又因为EC与圆相切于点C，故ACEABC，所以ACEBCD.(2)因为ECBCDB，EBCBCD，所以BDCECB，故，即BC2BECD.规律方法 在证明角或线段相等时，要注意等量代换在证明线段的乘积相等时，通常用三角形相似或圆的切割线定理【训练1】 如图，D，E分别为ABC边AB，AC的中点，直线DE交ABC的外接圆于F，G两点若CFAB.证明：(1)CDBC；(2)BCDGBD.证明(1)如图，因为D，E分
6、别为AB，AC的中点，所以DEBC.又已知CFAB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CFBDAD.而CFAD，连接AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CDAF.因为CFAB，所以BCAF，故CDBC.(2)因为FGBC，故GBCF.由(1)可知BDCF，所以GBBD.BGDBDG，由BCCD知，CBDCDB.又因为DGBEFCDBC，故BCDGBD.热点二“四定理”相交弦定理、割线定 理、切割线定理、切线长定理的应用【例2】 如图，AB是O的直径，C，F为O上的点，AC是BAF的平分线，过点C作CDAF交AF的延长线于D点，CMAB，垂足为点M.证明：(1)DC是O的切线；(2)AMMB
7、DFDA.证明(1)如图，连接OC，OAOC，OCAOAC.又AC是BAF的平分线，DACOAC.DACOCA.ADOC.又CDAD，OCCD，即DC是O的切线(2)AC是BAF的平分线，CDACMA90，CDCM.由(1)知DC2DFDA，又CM2AMMB，AMMBDFDA.规律方法 已知圆的切线时，第一要考虑过切点和圆心的连线得直角；第二应考虑弦切角定理；第三涉及线段成比例或线段的积时要考虑切割线定理【训练2】 如图，设ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，BAC的平分线与BC交于点D.求证：ED2ECEB.证明因为AE是圆的切线，所以ABCCAE.又因为AD是BAC的平分线，所
8、以BADCAD.从而ABCBADCAECAD.因为ADEABCBAD，DAECAECAD，所以ADEDAE，故EAED.因为EA是圆的切线，所以由切割线定理知，EA2ECEB.而EAED，所以ED2ECEB.热点三四点共圆的判定【例3】 如图，已知ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，B60，F在AC上，且AEAF.证明：(1)B、D、H、E四点共圆；(2)EC平分DEF.证明(1)在ABC中，因为B60，所以BACBCA120.因为AD、CE是角平分线，所以HACHCA60，故AHC120.于是EHDAHC120.因为EBDEHD180，所以B、D、H、E四点共圆(2)连接BH，则BH为A
9、BC的平分线，得HBD30.由(1)知B、D、H、E四点共圆，所以CEDHBD30.又AHEEBD60，由已知可得EFAD，可得CEF30.所以EC平分DEF.规律方法 (1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆；(2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆【训练3】 如图所示，已知AP是O的切线，P为切点，AC是O的割线，与O交于B、C两点，圆心O在PAC的内部，点M是BC的中点(1)证明：A，P，O，M四点共圆；(2)求OAMAPM的大小(1)证明连接OP、OM，AP与O相切于P，OPAP，又M是O的弦BC的中点，OMBC，于是OMAOPA180，由圆心O在PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，A，P，O，M四点共圆(2)解由(1)得A，P，O，M四点共圆，可知OAMOPM，又OPAP，由圆心在PAC的内部，可知OPMAPM90，OAMAPM90.备课札记： 希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！
