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1、浅谈中学数学中的反证法摘要：反证法在数学中是一种非常重要的间接证明方法，它被称为“数学家最精良的武器之一”，又称为归谬法、背理法。反证法亦称“逆证”。其不仅是一种论证方法，对提升学生创新性思维能力与概念思维能力具有积极作用，从某种角度可以说，反证法还是一种思维方式，其还能拓展学生的解题思路，从而使学生形成良好的数学思维。反证法在中学数学中有着广泛的应用，如今学生在运用反证法解题中，基础一般的学生会受到思维能力的限制，如果能恰当的使用反证法，在一些有难度的题目上也许能够得到解决。所以本文首先会叙述反证法的产生，具体阐述反证法的定义，即反证法的概念、分类、科学性，介绍逆证在中学数学中的实际运用并论
2、述了逆证应用的具体需要注意的一些问题。关键词：反证法；中学数学；应用；On the Proof by Contradiction in Middle School MathematicsAbstract： Proof by contradiction is a very important indirect proof method in mathematics, it is called one of the most sophisticated weapons of mathematicians, also known as reduction to absurdity, unreason
3、able method. Proof by contradiction is not only an argumentation method, but also a way of thinking. It plays an extremely important role in cultivating and improving students logical thinking ability and creative thinking ability. It can also expand students thinking of solving problems, so that st
4、udents can form good mathematical thinking. Anyway, the method has been widely used in middle school mathematics. Nowadays, when students solve problems with the method of proof by contradiction, the students with general foundation are limited by their thinking ability. If the method of proof by co
5、ntradiction can be used properly, they may be able to solve some difficult problems. Therefore, this paper will first describe the source of proof by contradiction, specifically elaborate the definition of proof by contradiction, that is, the concept, classification and logical basis of proof by con
6、tradiction, introduce the application of proof by contradiction in middle school mathematics and explain the problems to be noticed in the application of proof by contradiction.Keywords： proof by contradiction; Middle school mathematics; Application;目 录目录浅谈中学数学中的反证法11 引言12 反证法的产生12.1古希腊的反证法12.2 中国古代
7、数学中的反证法23 反证法的定义与步骤23.1 反证法的定义23.2反证法的解题步骤24 反证法的分类与科学性44.1反证法的分类44.1.1归谬法例题44.1.2穷举法例题44.2反证法的科学性54.2.1反证法的理论依据54.2.2反证法的可信性54.3为什么要使用反证法65 反证法在中学数学中的应用65.1基本命题，即学科中的起始性命题65.2命题采取否定形式75.3有关个数的命题95.4结论涉及无限集或数目不确定的命题105.5不等式类型115.6几何类型题126 使用反证法解题过程中要注意的问题136.1反设要正确136.2 要明确推理特点136.3能灵活运用136.4 反证法与举反
8、例不等同146.5熟悉矛盾的种类147 总结14参考文献14致谢153浅谈中学数学中的反证法1 引言反证法是间接论证的方法之一，亦称“逆证”、矛盾证法;。早在古希腊,一些数学家就用矛盾证法处理了大量的数学领域方面的问题。英国物理学家、数学家牛顿（Newton）曾言：“逆证是从事数学研究工作的专家最精确恰当的一个利器”，它在中学数学中有着不可替代的重要作用，一般来说，当学生遇到不容易或者不能从正面进行证明的题目时，则可以尝试运用反证法进行证明。反证法弥补了直接证明的不足，完善了证明方法，运用反证法可以培养和提高学生的逆向思维能力和创造思维能力，把不可能转化为可能。教师应要结合熟悉的生活实例和典型
9、的数学例题，帮助并引导学生了解反证法继而使用反证法，然后运用反证法拓宽学生解决问题的思路。不仅在中学数学中能运用反证法，生活中也能运用反证法解决问题。如李某与朋友们外出游玩，看到路边的树上结满了果子，朋友们都去摘取果子，唯独李某站在原地一动不动，一朋友问他为什么不去摘取，李某说：“在路边的树上结满果子必然是苦的”，朋友摘取果子尝试，果然是苦的。为什么李某在还未尝试果子前就知道是苦的？因为李某巧妙地使用了反证法，如果果子是甜的，路边树上的果子已被采摘。像这样，为了说明某一个结论是正确的，但不从正面直接说明，而是说明它的反面是错误的，从而得出它本身是正确的。我们知道，推理与证明是数学问题解题的基本
10、思维过程，从上面的故事中，我们生活中可以使用推理与证明的思维方式进行思考问题。2 反证法的产生2.1古希腊的反证法在南意大利学派的影响下，其主张“一切事物都是整数”，数学知识是可靠和准确的。但随着第一次数学危机的发生，自根号二的发现，使希腊人重新审视了他们自己的数学，从此他们对以数作为基础的几何做了舍弃的选择。首次的数学发展遇到的暂时困难，使其没有办法只信靠直观与图形，所以，西方为代表的数学须以证明为主来证明数学。而他们要的是准确性的数学。它以演绎、逻辑为表现的形式。可以推断其意指算的数学与证明的数学恰恰不同。希腊人认为数值计算是几何证明之后的一个应用，他们更注重演绎与证明，指出“不要近似”，
11、也就是要达到“明确的形式证明和公理的使用”1。最开始运用到反证法的是古希腊最盛名的数学家欧几里德，在他的原本著作里就发现有反证法的应用了，比如，质数有无数多个的论断的证明，假设命题不真，则素数只有有限多个。数学应始于绝对假设，古希腊哲学家、教育家Platon所主张的，其利用大量的逻辑推理方法得出所需论断。古希腊哲学家、伟大的思想家亚里士多德（Aristoteles）致力于应用普通逻辑至数学里，亚里士多德开始对数学概念进行探索，亚里士多德对南意大利学派的“一切事物都是整数”的主张表示不赞同，但是对公设表示认同，古希腊哲学家、伟大的思想家亚里士多德（Aristoteles）主张把原来的道理描述出来
12、即数学证明，这样问题就可以得到解决。2.2 中国古代数学中的反证法对推理演绎的证明，在我国的古代数学领域缺少重视，尽管人们发现一些逻辑规律，例如在魏晋时期的雄辩之风，大多数的反驳用到了归谬法，这里的归谬法就是举反例，刘徽受当时的影响，在他的九章算术注中，归谬论证法被多次使用，刘徽在证明某些公式是错误的时候，用的方法都是反驳，并且是成功的，符合逻辑规律的。墨家学派创始人也曾利用反证法，比如违反矛盾律的谬误：“学之益也，说在诽者。”。利用“学习无益”不是真的证明,得出“学习有益”是真命题。归谬法也是反证法中的一种方法，但因为中国逻辑学的不完善，在指出明确运用反证法的用法上是少之又少，与西方差别甚大
13、。3 反证法的定义与步骤3.1 反证法的定义反证法是科学证明方法之一，为间接证明方法的一种，简单点说即由逆着方向证明的论证法。起初，誉为全才数学家的哈达玛这样概述反证法，如果对定理的假设进行肯定，而对其结论作出否定的做法，则会形成矛盾。”上面的语句可如此认为：先摆出同结论不同的假设，之后得出与已知的证明的公理、题设、定理互相矛盾的结论，如此，则证明出同结论不同的假设，不可以成立，那么认同了原先的判断必然正确，这样的间接证明方法，我们认为即反证法2。 3.2反证法的解题步骤通过逆证法证明一个命题的3个步骤:（1）反设反设是用反证法解题的基础，反设是否准确对解题过程与结果起着决定性的影响。第一步要
14、找到题目中的已知条件和结论，接着是细心并准确找出与结论相反的假设，最后是对结论进行肯定或否定。（2）归谬归谬是重点，亦是难点。利用题设和反设出发,经过严格地逻辑推理和论证,最终导出矛盾。但许多学生不知道怎样去寻找矛盾.所以,教师在教学时,要让学生清楚:反设后条件都有什么;逻辑推理的方向;矛盾将如何产生.（3）结论即根据反设以及归谬所得到的最终结果。归谬是根据反设得到一个与命题原结论矛盾的理论，从而肯定命题的原结论。完成这三步，用反证法解题就已经完成3。例如：已知:如下图，设点A、B、C在同一直线上，求证：过A、B、C三点不能作圆.【反设】假设过A、B、C三点能作圆，这个假设作为下一步“归谬”的
15、一个已知条件。【归谬】由上述假设过A、B、C三点能作圆出发，设此圆圆心为O，则A、B、C三点中连任意两点的线段是圆O的弦，由垂径定理：O既在AB的中垂线 OM上，又在BC的中垂线ON上，从而过点O有两条直线OM与ON均与AC垂直，这个结论就与“同一平面内过一点有且仅仅有1条直线同已知直线垂直”的垂直定理相互违背。推理无误，因此假设不正确。【结论】故过同一直线上三点A、B、C不能作圆。4 反证法的分类与科学性4.1反证法的分类 反证法包含穷举法与归谬法(reductioad absurdum)又称归于不可能(reductio ad impos-sibile)。采取归于不可能方法证题的时候，若把要证明的命题的方面情形仅仅有1种，则仅仅需要将此种情形论证不成立，就能够达到反证的目的。若要证明的方面，有数种情形，则须把每种情况全部反驳倒，之后进行逐个处理、解析，方可以论证原来的结论正确，这就是穷举法。4.1.1归谬法例题著名的俄国文学家亚历山大伊凡诺维奇赫尔岑，曾经参加一个了聚会，他非常不喜欢派对上播放的音乐，促使他用手把听觉器官耳朵捂了起来。接待宾客的人向亚历山大伊凡诺维奇赫尔岑说明：“演奏的音乐是流行的。”“流行的音乐就是高尚的吗？”，亚历山大伊凡诺维奇赫
