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1、第九章 参数估计与推断参数估计与假设检验是推断统计学的重要内容，即根据样本所具有的信息对 总体参数进行推断。参数估计：以样本的某个统计量来估计总体的某个参数，包括点估计、区间 估计。1 点 估 计点估计(Point Estimation)：选择一个最适当的样本统计量，作为某个总体 参数的估计值。例如：(1) 考察某个地区的人均收入，抽取部分居民户(样本)，计算样本的人均 收入，以此来作整个地区的人均收入的估计，即由样本均值来估计总体均值。(2) 考察某批产品的次品率p，用样本比率P来作p的估计。s对于总体的同一个特征数，可以构造出若干个不同的统计量作为其估计量。 例如，作为总体均值的估计，可以
2、用样本均值，亦可用样本中位数。那么哪一个 估计量更好，需要建立一个评价估计量好坏的准则。设X为总体，6是总体的一个分布参数(如均值、方差等)；又设 X ,XX是取自总体X的一个简单独立随机样本。构选统计量：1 2 nT 二 T(X , X ,X )1 2 n以T作为6的估计，则希望T-0越小越好。而|T-0|是随机的，随某次观测结果的变化而变化，不是一个总体指标。对 于样本的不同观测值，可以得到T的不同观测值，作为0的估计，有些可能偏差 大一些，有些可能偏差小一些，那么就总的平均来讲，结果如何呢？为此，建立如下评价指标：R（0 ,T）= ET（X , X ,X ） -0 21 2 n-0）2L
3、 EKt-E（T）+（E（T）-0）1-E（T）2 + 2（T）-0 ）.（T - E（T）+（E（T）-0 R0,t)反映了平均偏差，是具体数(非随机)，R0,t)越小越好。R0, T )= E二 E二 E(T - E(T)2 + 2(E(T)-0) - E(T - E(T) + (E(T)-0)2二 Var(T )+(E(T )-0由此可知，Var(T)与6)-0)2越小越好。无偏性（Unbiasedness）设T （X , X12X ）是总体参数0的一个估计量，如果:nE（T（X ,X ,X ）= 012n则称T为0的无偏估计。即T的所有估计值的平均结果和待估参数的真实值没有偏误。例：设
4、总体X的期望值为卩，方差为c2， X ,XX是取自总体X的 1 2 ni=1一个简单独立随机样本。则样本均值X及样本方差S 2分别是卩与c 2的无偏估计。 n证明：J X = 1工-X）n in n 1i=1eG）=-工E（X ）=-工nii=1E（S 2）=_ Ei卩=卩 ni=1 另 Q _ X）1 L i=i=- En1工（X 小+ 2 X左i=- En1（X |lx ） + nii =1i =1丫（X -小 + 2n（-X）（-丿+nC-x）ii=1=丄En 1=1n 1=1n 1工（X nG 丿ii=1He（X -卩）2 nE（X -卩）2i工 Var（X ） nVarG ）i=1=
5、1n 1c2nc 2 n -n1 r =nC 2 C 2=C 2n 1n n 1所以X, S2分别是卩，C 2的无偏估计。n可见非 c 2 的无偏估计。nn注 1.若S2 = 1 工（X X）,贝q E（S2）=匕丄 n n i i=1所以S2的分母用（n-1）,既保证是无偏估计，且自由度恰好为（n 1）。 n注 2. 由此例可得：若XNCQ 2贝|JX, S2分别是卩，Q 2的无偏估计；n若XB（L, p）则X = P （样本比率）是p的无偏估计。s若X服从参数为九的Poisson分布，则X是九的无偏估计。二、有效性（最小方差性）（Efficiency）所有关于6的无偏估计量构成了一个无偏估
6、计集，此时：R,T）= Var6）（/ E6） = 6）可见在所有关于6的无偏估计中，其方差越小，贝估计的偏差越小，估计量 越好。有效性：设T与S为6的两个无偏估计量，若Var（T） e e nsb2ne 2即X是卩的一致估计量。由上面的论证可知，T是否为一致估计量，关键在于Var6）是否趋近于0。注1.若T为0的无偏估计，且Var（T ）0，则由车贝雪夫不等式知:nnnsT 一定是0 的一致估计量。但无偏性并非必要条件。n注 2 由此例可得：若XNC,b 2）贝Ijx是卩的一致估计量；若XB（L,p）贝UX = P （样本比率）是p的一致估计量；s若X服从参数为九的Poisson分布，则X是
7、九的一致估计量。2 区 间 估 计点估计往往是用某个统计量的一次观测数值作为待估参数的估计值，没有考虑随机抽样的误差问题，没有考虑其估计的精确度问题。区间估计（Interval Estimation）：构造一个包含总体参数在内的区间，使 得该区间以相当大的概率包含待估参数在内。此概率为置信度，表明该区间包含 参数的把握程度；该区间即为在该置信水平下的置信区间。一、正态总体方差b 2已知的情况下，关于总体均值卩的区间估计设总体XN V, b 2彳b 2已知，对均进值行区间估计。又设X ,X ,X是取自总体X的一个简单独立随机样本。1 2 n1.置信区间(Confidence IntervQl由于
8、丄丄N（0,1）b给定小概率血5,。.。1），查标准正态分布表，求出临界值务，使得:即：即：、 = 1dd2统计意义：由于X随机，每次不同的观测值得到不同的区间，在所有这样的区间中，约有lOoG-d）%的这样的区间包含卩在内。换句话讲，对于X的某一个观测值x，构成了一个固定区间，卩落入该区间内的概率为6-d）。从而，区间X + zd称为卩的置信区间，其置信度(Level of Confidence)为 100G d)%。即卩以100(1 d)%的把握落在置信区间：x + Z 注 2. 区间估计反映了估计的精确程度，区间越短，则估计精确度越高；置 信度越高，则估计的可靠性越高。估计误差：gx |
9、L1 W Z , ；= a2 Z = Z = 1.65叫 0-05a = 0.05置信度95% Z = Z = 1.96% 0-025a = 0.01 置信度99% Z = Z = 2.58a2 0-005可见，置信度越高（ a 越小），则估计的可靠性越高；但区间长度越大（因为Z /越大），估计的精确度越小。因而置信水平的选取要适当，需要在估计值 a2的精确度和可靠性之间进行权衡。例：假定某种计算机纸的长度（Inches）服从正态分布，其标准差为0.02, 现抽取100张纸进行检查，发现样本均值x = 10.998。求:（1）纸张平均长度的 95的置信区间。（2）纸张平均长度的 99的置信区间
10、。 解： X :计算机纸的长度XNIQ 2丿g = 0.02, x = 10.99& n = 100x + Za2(1) a = 0.050.02IT从而置信区间为：=_10998 - 96002 10998+1.96 =110.9940& 11.00192即卩以95%的把握落入区间内。(2) d 二 0.01Z 二 2.58置信区间为：10.998-2.580.02, 10.998 + 2.580.02_ 10 10 _= 110.99284, 11.00316即卩以99%的把握落入区间内。若期望平均长度为11 (inches),认为生产过程正常。则从抽样结果判断,平均长度位于上述置信区间内
11、，从而没有理由怀疑生产过程是不正常的。2.置信下界、置信上界(Lower Limit, Upper Limit)根据实际问题的需要，有时需要确定总体均值卩的置信下界或置信上界。由于5 C -丿 N(0,1)给定小概率d，查表求临界值Z，使得:x=d即：pn X Z - = 1 -a则：=X - Z Z为卩的置信度为100(1 -a)%的置信下界。 a x；n注 1.L d类似地，给定小概率a，查表求临界值Z，使得: an (X J!)Gp 卜n (X !)G即:p gwX + z -a=1a则:=x + Z 丄为!的置信度为100（L-a）%的置信上界。 a、n注 2.查表：A(Z )= - aa2aaY注 3. 一些常用置信水平下的临界值：a = 0.10 Z = 1.29aa = 0.05 Z = 1.65aa = 0.01 Z = 2.35a二、正态总体方差G 2未知的情况下，关于总体均值!的估计设总体XNC,G2） !和G 2皆未知，X ,X ,X是取自总体X的一12n个简单独立随机样本。对! 进行区间估计。在G 2未知的情况下，运用t-分布来推断。1. 置信区间T万 G-丿t (n -1)由于=1exn从而，R的置信区间为XS _ S t厂半,X + t 牛
