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1、江苏省海头高级中学2018届高三第四次月考数 学 试 题 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1已知集合，则= 2函数的最小正周期为 3已知复数为虚数单位，若为纯虚数，则 I1While I6Y2I+1II+2End WhilePrint Y4在平面直角坐标系中，抛物线上纵坐标为2的一点到焦点的距离为3，则抛物线的焦点坐标为 5一个算法的伪代码如图所示，则输出的值为 6在一个样本的频率分布直方图中，共有5个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其他4个小矩形的面积和的，且中间一组的频数为25，则样本容量为 7一口袋中放有质地、大小完全相同的6个球，编号
2、分别为1，2，3，4，5，6，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，甲、乙两人所摸球的编号不同的概率是 8若正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为 9已知等比数列的前项和为，则的值为 10已知直线及直线截圆所得的弦长均为，则圆的面积是 xyOAB11如右图所示为函数()的部分图象,其中两点之间的距离为，那么 DBAEOC 第11题图第13题图12在中，若点满足，且，则 13已知圆心角为的扇形的半径为，为弧的中点，点、分别在半径、上若，则的最大值是 14已知为正数,实数满足,若的最大值为,则 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演
3、算步骤15 (本小题满分14分) 在中，角所对的边分别为，满足且（1）求的大小；（2）求的最大值，并求取得最大值时角的值16(本小题满分14分) 如图所示，在直三棱柱中，平面为的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面17(本小题满分14分)已知椭圆，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于两点，点坐标为，直线与直线斜率的乘积为（1）求椭圆的离心率；（2）若弦的最小值为，求椭圆的方程18（本小题满分16分）某固定在墙上的广告金属支架如图所示，根据要求，至少长3米，为的中点，到的距离比的长小0.5米， （1）若将支架的总长度表示为的函数，并写出函数的定义域.（注：支架的总长度为图中线段、和长度之和）；（
4、2）如何设计的长，可使支架总长度最短 19（本小题满分16分）设数列的前项和,，且当时, .（1）求证:数列是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）令，记数列的前项和为.设是整数，问是否存在正整数,使等式成立？若存在，求出和相应的值；若不存在，说明理由.20（本小题满分16分）已知定义在上的函数，（1）求证：存在唯一的零点，且零点属于；（2）若，且对任意的恒成立，求的最大值1、； 2、； 3、； 4、； 5、11； 6、100； 7、； 8、；9、6； 10、27； 11、2； 12、； 13、； 14、；15、7分-12分-14分16、（略）17、（1）设，由对称性得，将代入椭圆方程可得，
5、故直线和斜率的乘积，所以，椭圆的离心率（2）由（1）可将椭圆方程化为，联立，可得，设O为坐标原点，则，同理可得，由条件可知直线与垂直，所以=所以，所以椭圆的方程为18、（1）由则，设，则支架的总长度为，在中，由余弦定理化简得 即 4分记 由，则 -6分（2）由题中条件得，即 设 则原式= 10分由基本不等式有且仅当 ，即时成立，又由 满足 ， 当时，金属支架总长度最短 16分19、解：（1）当时, ,代入并化简得, 4分 ,又由得, 代入可解得,，也满足,而恒为正值,数列是等比数列.6分 （2）由知.当时, 又， 8分（3）当时，,此时 ，又. 10分故，当时，12分若，则等式为，不是整数，不
6、符合题意；14分若，则等式为，是整数, 必是的因数, 时 当且仅当时，是整数，从而是整数符合题意.综上可知，当时，存在正整数，使等式成立，当时，不存在正整数使等式成立. 16分20、江苏省海头高级中学2018届高三第四次月考数 学 试 题 21【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤班级_ 姓名：_考试号： 密封线不准答题内A选修4-1：几何证明选讲如图，A，B，C是O上的三点，BE切O于点B，D是与O的交点若，求证：B选修4-2：矩阵与变换已知矩阵，求点在矩阵对应的变换作用下得到的点坐标C选修
7、4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（t是参数）， 以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若圆C的极坐标方程是4cos，且直线与圆C相切，求实数m的值D选修4-5：不等式选讲已知均为正数，证明：【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面ABEF平面ABCD， EF / AB，BAF=90， AD= 2，AB=AF=2EF =1，点P在棱DF上（1）若P是DF的中点， 求异面直线BE与CP所成角的余弦值； （2）若二面角D-A
8、P-C的余弦值为，求PF的长度 密 封 线23（本小题满分10分）已知函数，设为的导数，（1）求的值；（2）证明：对任意的，等式都成立 数学B设，则，所以，解得，即5分 由，知点， 所以新坐标为10分C由，得，所以，即圆的方程为， 又由消，得，由直线与圆相切，所以，即或 10分22因为BAF=90，所以AFAB， 因为 平面ABEF平面ABCD，且平面ABEF 平面ABCD= AB， 所以AF平面ABCD，因为四边形ABCD为矩形，所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系所以 ，所以 ，所以，即异面直线BE与CP所成角的余弦值为 -5分 （2）因为AB平面ADF，所以平面APF的法向量为设P点坐标为，在平面APC中，所以 平面APC的法向量为， 所以， 解得，或（舍） 所以 -10分 23、解：（1）由已知得：于是，所以=（2）由已知得：，等式两边分别对求导，得，类似可得，下面用数学归纳法证明等式对所有的都成立（1）当时，由上可知等式成立，（2）假设当时等式成立，即；因为=，所以即当时等式成立，综合（1）（2）可知等式等式对所有的都成立令，所以（）
