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1、泰勒级数展开若干方法何琼（绍兴文理学院数学系，浙江 绍兴312000 ）摘要：泰勒级数的各项是由结构简单、性质明了的幂函数组成.把一个函数展开成泰勒级数或幂级数,有着广泛的应用本文对泰勒级数的若干展开方法进行探究、综述，有助于我们对这部分知识的深入理解.关键词：泰勒级数；幂级数；余项1 引言泰勒级数是数学分析中级数部分的重要内容，其主要内容包括两个方面：（1）幕级数的收敛理论；（2）如何把一个函数展开成泰勒级数本文是对后者进行较全面的归纳 和总结.我们知道把一个函数展开成泰勒级数的方法大致上可分为两类，即直接展开法和间接展开法直接展开法可按下列步骤进行：第一步：求出函数的各阶导数f（x）, f
2、（x），L f（x），L第二步：求函数？（ x ）及其各阶导数在 f（xo）, f（xo）, f（xo），L f（n）（xo），L ；第三步：写出泰勒级数f （xo）+ f（x）（x- X。） + f ：0）（x- X。） 等比级数求和法利用公式 =1 + x+x2 +L +xn +L 由于本公式应用广泛,1 - x所以专列一条. +L +-畀（x-xo）n+L 2!n!第四步：考察余项 Rn（x）在x0的某一领域U（x0）内极限是否为零.按照Taylor定理，直接展开法是一种基本的方法，但有时是比较繁杂的方法，实际应用中通常利用间接展开法1 代换法这种方法的特点是：进行适当变量替换使得被展函
3、数符合某个已知泰勒展开式这是一种在实际应用中被广泛使用的间接展开法.例1求ex处x = 1的泰勒级数解 已知et在t = 0处的泰勒级数为t2tnet=1+t+N + L +廿，x 弘x-1+1=ex-1#设t = x - 1代入（1）得oo=en=0n!x (- o+马#1将f (x)=在x = 2处展开成泰勒级数3x- 21解丄=1=11=113x- 23(x- 2) + 441+ 3 (x - 2)41- - 3 (x - 2)44133233=4 = 1 d 1 = 1 _ d(n + k-1)L (n+1)疋】(1 - x)k+1 k dx (1 - x)kk nOdx(k - 1)
4、! - 4(x- 2) +- 4(x- 2) +- 4(x- 2) + L x (-,10)3 3)1 3322 333=刀 (x-2”n0 4n+1x (-,10)3 33 逐项微分法应用泰勒级数在收敛区间内可“逐项微分”的性质,勒级数已知的函数的导函数而间接展开将被展函数视为泰已知1- x=Z?n,x(-1,1)，求在x = 0处的泰勒级数，x(-1,1)1(1- x)2(xn)=+宀晋(xn) =dx 1 - x dx n=ooon-1=口xn=oo=口 n + 1)xnn=0x (-1,1)1(1- x)31 d 1 2】d ”(n +1)xn2 dx (1- x) 2dxx (-1,
5、1)-n + 1)nxn-12 n=0oo=刀n=0(n + 2)( n + 1)xn2!4-严-2)+*-2)-存x-2) +L#oo=习n=0(n + k)L k!x (-1,1)#4 逐项积分法应用泰勒级数在收敛区间内可“逐项积分”的性质，将被展函数视为泰勒级数已知的函数的原函数而间接展开例4 将f (x) = arctgx在x = 0处展开成泰勒级数.q arctgx =而由法2知丄=1-21 + xoo2+ L = D1)x=0x (-1,1)ooarctgx =coA+X2dx= / 卓1)nx2ndxox=E J(- 1)x2dx =n=0 0n 2noo1)2n+1+ 1 xx
6、 (-1,1)5 运算法应用泰勒级数的四则运算法则来展开函数，我们称之为运算法1)应用泰勒级数乘法法则，将被展开函数视为泰勒级数展式已知的函数的乘积展开将f (x) = ex ln(1 + x)在x = 0处展开成泰勒级数2Q ex =1 + x + + L 2!+ L!3x+ +L2l(1 + x) = x-7 - 3+ (- 1)-1 x+ Lx (-1,1)ex l(1 + x) =(1 + x +2 x2!3 x3!+ L )(x-1)= x+(1- 1)x2 +( 12 1?2!23x3 + L +=(2! 2?(-1)!+1 +L3?(- 2)!+ +?1! ( +1)?0!(-1
7、) )x+1+Lo =刀E=0 k=0(-1)k(k + 1)(- k)!x+1x (- 1,1)= x + 1x2+2x3 + 9x5 + l2!3!5!+ (E1)x+ 1)(- k)!+1x (-1,1)2)应用泰勒级数除法法则，将被展函数视为泰勒级数已知的函数之商来展开xe例6 试求f(X)= 在x = 0处展开成泰勒级数的前五项1 + x解 此题可用前一方法来做，但这里用长除法解之2345xQex (-o,旳xxxx=1 +x + L2!3!4!5!L#1x22x39x4 44x5+ - + -2!3!4!5!2345 x x x x.1 + x+ + + + +L2!3!4!5!x
8、22!3+ x +L3!2!3x+ 2!342x x . + + L 4!3!2x32x43!3!459xx,+ L4!5!9x4 9x5+ 4!4!44x55!44x55!x ex22x39x444x5d , 1+ -+ L=1 + -1 + x2!3!4!5!6待定系数法该法是利用两个泰勒级数相等以及同次幕的项的系数相等这一充要条件来确定所求的泰勒级数的系数.例7 将f (x) = tgx在x = 0处展开成泰勒级数解 Q f (x) = tgx在x = 0处可导且为奇函数设 tgx = A(x+ A3x3 + A5X5 +L35即 sin x = (A,x + A3x +Ax +l )c
9、osx#x (-2,2)3524X X35X XX-耳+ + L =(Ax + A3X +AX +L)(仁亍刁+L)A、3AiAo5=Ai x +(A3 -药)x + (a5 + 4! - 2!)x + l比较两边同次项系数，得A,1A1A31,Ai = 1, A3 -= -, A5 +-= 丄2!3!4!2!5!有Ai =1,A3 =5 =15 丄3 151325.tgx二x+ x + x +L315分项分式法对于有理分式函数，可先将其分解成分项分式后再展开成泰勒级数2将 f(x)=展开成x = 0处的泰勒级数X - 8x+ 5(x + 2)(x- 3)2(x- 3)_111XX2X3、=-
10、=-(1 + 2 + 3 + L ) X- 33彳 X 3332331 -1111XX2X、=?= (1 - + 2- 3+L)X + 22 让 x222223L2222324X (- 2,2)#x (-2,2)#x (-2,2)1 兰三=-3-孑-F-十-L(X- 3)2oo2(x- 3)229ooEn=0n +1Xndx 為）=3nX (- 3,3)x2 - 8x + 5 =12(x + 2)(x- 3)2 = x+2- (x- 3)25-竺 x+卫 x2-2Z1x3+止 x4-l18 1082163888233288 恒等变形法此法是利用数学恒等式，将所要求的函数的展开式转化为求展开式已
11、知 或是易求的函数的展开式，它最适用于三角函数的泰勒展开式例9将f (x) = sin2 x在x = 0处展开成泰勒级数解此题除了可以利用前面介绍的公式、逐项积分及泰勒级数乘法外，最简便的还利用恒等变形.2 1Q sin x =(1- cos2x)2而 cos2x =1-(2x)2 + (2x2!+4!(2x)66!=D1)nn=0?2n丽2n x#x (-2,2)22n-12n x1 msin2 x = -(1- cos2x) = ”(- 1)n-12 n=19微分方程法利用微分方程来求泰勒级数的系数1例10 把f (x) = e在x = 0处展开成泰勒级数Q f(x)在x 1内可导且1f
12、(x) = e(1- x)2f (x) = 0#x (-2,2)#x (-2,2)对上述微分方程逐次求导，得(1- x)2f(x)+(2x- 3)f(x) = 0 (1- x)2 f(x)+(4x- 5)f (x) + 2f(x) =0又 f (0) = e从上列各微分方程可求得f(0) = e, f (0) = 3e, f(0) = 13e丄13x213x3 e1-x = e(1 + x+w + +L)x (-1,1)10 复变数法展开法此法是将实函数变为相关的复函数来展开.例11把f (x) = ex cosx在x = 0处展开成泰勒级数#x (-o omnoonQ 严=尹)V= 2(cos n + iS%)n?:!nnn)2x_4 Ti!oo n2 / n n=V22 (cos+ is inn=04Xe cosxoon令等式两边的实部和虚部分别相等，得nn n、xcos )4 n!且还得到oonxe sinx口22n = 0n.nn、x sin ) 4 n!x (- o, o#x (-o
