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1、二次三项式 ax2+bx+c 的最值问题此类题型是一元二次方程中的一类重要题型， 它在考试题中主要以大题的形式出现。 而且， 二次三 项式的最值问题和后面要学的二次函数的最值紧密相关。所以同学们一定要清楚它的重要性。一元二次方程： ax2+bx+c=0（a 0）二次三项式： ax2+bx+c它们两者一个是等式， 一个是代数式， 一元二次方程的配方是根据等式的性质， 在等式两边同时乘 或除以系数，而二次三项式的配方是恒等边形，利用系数分离的技巧。配方过程：一元二次方程： ax2+bx+c=0解：步：等式两边同时除以二次项系数 ax2+ x+ =0步：凑完全平方，等式左边 +一次项系数一半的平方，
2、一次项系数一半的平方x2+ x+( ) 2(配完全平方(x）2 + =0(x）2+ =0(x）2=)2+ =0二次三项式： ax2+bx+c 解：步：分离二次项系数，加括号，常数不变=a（x2+ x） +c步：配完全平方（和方程的配方一样）=ax2+ x+（ ） 2（ ）2+c=a（ x+ ）2 +c 取中括号=a（x+ ） 2 +c 常数部分通分=a（x+ ） 2+例 1：在 Rt ABC中， AB=6cm， BC=8cm， B=900，点 P从 A点开始向 B点运动，速度 是 1cm/s ，同时，点 P从 B 点开始向 C点运动，速度 2cm/s ，（1）经过几秒， PBQ 的面积等于 8
3、cm2（2） PBQ的面积会等于 10cm2 吗？若会求出此时的运动时间，若不会 说明理由。解：设经过 x 秒， PBQ 的面积为 8cm2，S PBQ= PBBQPB=AB-AP=6-x， BQ=2x （6-x） 2x=8解得 x1=2， x2=4经过2）由（ 1）得2 SPBQ= （6-x） 2x=-x +6x =（ x2 6x） =（ x2 6x+3232）2 =（x3）2 92=（ x3） 2+922s 或 4s 后 PBQ 面积为 8cm2二次三项式的配方分离二次项系数 -1 配完全平方去中括号分析：x0123456（ x 3）2+90589850所以，当 x取值为 3 时，式子（
4、x3）2+9 的值最大，是 9 也就是 PBQ 的最大面积为 9cm2无论 x 运动多少秒， PBQ的面积都不可能达到 10cm2。例 2 ：小林准备把一根长 40cm 的铁丝剪成两段，围成两个正方形。 （1）要使小林围成的两个正方形的面积之和等于58cm 2，该怎么剪？（ 2）这两个正方形的面积之和能不能等于48cm2？请什么理由。解：（ 1）设第一个正方形的边长为 xcm，则第二个正方形的边长为（ 10x） cm，依据题意列方程 22x2+（10x）2=58解得 x1=3， x2=73 4=12cm小林应该从 12cm 处剪。2）由（ 1）可得22 x2+（10x）2 =2x2 20x+1
5、00 =2（ x2 10x） +100 =2（ x2 10x+525 2） +100 2 =2（x5） 225+100 2 =2（x5）2+50化简整理成一般式 分离二次项系数，常数不变 配完全平方去中括号，整理分析：x01234567891022（x5） 2+50100826858525052586882100当 x 取值为 5 时，二次三项式 2（ x 5） 2+50有最小值 50正方形的面积不可能为 48cm2 。 总结：对于二次三项式当二次项系数a 0 时，式子有最小值， a 0 时， x= 时，式子有最小值当 a0 时，x= 时，式子有最大值练习：1、根据概念直接判断下列二次三项式的
6、最值：A 最大值； B 最小值，请选择填空：（ 1） -x2+3x： ；（2）（2x）（x+1）： ；（3）5x3x2：（4） （ x+3）（ 4 x）：2、用配方法求下列代数式的最大值或最小值。（1）x24x+9；（2）2x28x+1；（3）（x3）（92x）；（4）3x2+8x3；（5）3（x23x）3、解答题（ 1）将一条长 20cm 的铁丝剪成两段，各围成两个正方形，2要使这两个正方形的面积之和为17cm2，那么应该怎么剪？这两个正方形的面积之和能否为12cm2？请说明理由。（ 2）用长为 80 米的栅栏围成一个长方形的鸡舍，鸡舍一面靠墙，求鸡舍的长和宽分别为多少时， 鸡舍的面积最大。（3）代数式 4x2+8x+5 有最大值还是最小值？是多少？ （ 4）证明：无论 x取什么值，代数式 x2+4x 8 的值恒小于 0（5）用配方法证明： x2+2x8 的最小值为 9（6）用一条长 40 米的绳子能不能围成一个面积为101m2 的矩形？请说明理由。（7）如图，一次函数 y= 2x+3的图像交 x轴于点 A，交 y轴于点 B，动点 P在线段 AB上（不予 A， B 重合）上移动，过点 P分别做 OA，OB 的垂线，垂足为 C，D。问：点 P 在何处时，矩形 OCPD的面积最大？
