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1、高考大题专项(五)直线与圆锥曲线突破1圆锥曲线中的最值、范围问题1.(2019广东深圳模拟,20)在平面直角坐标系xOy中,离心率为63的椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)过点M1,63.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线x+y+m=0上存在点G,且过点G的椭圆C的两条切线相互垂直,求实数m的取值范围.2.(2019河北石家庄一模,20)已知抛物线C:y2=2px(p0)上一点P(x0,2)到焦点F的距离PF=2x0.(1)求抛物线C的方程;(2)过点P引圆M:(x-3)2+y2=r20b0)的两个焦点分别为F1、F2,|F1F2|=2,点Q在椭圆上,且QF1F2的周长为6.(1)求
2、椭圆C的方程;(2)若点P的坐标为(2,1),不过原点O的直线l与椭圆C相交于A,B两点,设线段AB的中点为M,点P到直线l的距离为d,且M,O,P三点共线,求1213|AB|2+1316d2的最大值.4.(2019山东淄博三模,20)已知圆O:x2+y2=4,抛物线C:x2=2py(p0).(1)若抛物线C的焦点F在圆O上,且A为抛物线C和圆O的一个交点,求|AF|;(2)若直线l与抛物线C和圆O分别相切于M,N两点,设M(x0,y0),当y03,4时,求|MN|的最大值.5.(2019浙江模拟,19)如图,不垂直于坐标轴的直线l与抛物线y2=2px(p0)有且只有一个公共点M.(1)当M的
3、坐标为(2,2)时,求p的值及直线l的方程;(2)若直线l与圆x2+y2=1相切于点N,求|MN|的最小值.突破2圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1.在ABC中,AB=2,C=3,且SABC=33,若以A,B为左右焦点的椭圆M经过点C.(1)求M的标准方程;(2)设过M右焦点且斜率为k的动直线与M相交于E,F两点,探究在x轴上是否存在定点D,使得DEDF为定值?若存在,试求出定值和点D的坐标;若不存在,请说明理由.2.已知抛物线C:y2=2px(p0),过焦点F作垂直于x轴的直线l,l与抛物线C相交于A,B两点,E为C的准线上一点,且ABE的面积为4.(1)求抛物线C的标准方程.(2)设Q(
4、2,0),若点P是抛物线C上的一动点,则是否存在垂直于x轴的定直线被以PQ为直径的圆截得的弦长为定值?如果存在,求出该直线方程和弦长,如果不存在,说明理由.3.(2019四川绵阳质检,20)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y2=2px(p0)的准线为l,其焦点为F,点B是抛物线C上横坐标为12的一点,若点B到l的距离等于|BO|.(1)求抛物线C的方程,(2)设A是抛物线C上异于顶点的一点,直线AO交直线l于点M,抛物线C在点A处的切线m交直线l于点N,求证:以点N为圆心,以|MN|为半径的圆经过x轴上的两个定点.4.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e=22,左、右焦点
5、分别为F1,F2,抛物线y2=42x的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点.(1)求椭圆C的方程;(2)已知圆M:x2+y2=23的切线l与椭圆相交于A,B两点,那么以AB为直径的圆是否经过定点?如果是,求出定点的坐标;如果不是,请说明理由.5.(2019湖北武汉模拟,20)如图,O为坐标原点,椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距等于其长半轴长,M,N为椭圆C的上、下顶点,且|MN|=23.(1)求椭圆C的方程;(2)过点P(0,1)作直线l交椭圆C于异于M,N的A,B两点,直线AM,BN交于点T.求证:点T的纵坐标为定值3.突破3圆锥曲线中的证明与探索性问题1.(2019湖南永州三模,20
6、)已知直线l是经过点A(1,-2)且与抛物线E:y2=4x相切的直线.(1)求直线l的方程;(2)如图,已知点B(1,2),M,N是x轴上两个不同的动点,且满足|BM|=|BN|,直线BM,BN与抛物线E的另一个交点分别是P,Q,求证:直线PQ与l平行.2.设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点.(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;(2)证明:ABM=ABN.3.(2019四川成都七中模拟,20)设圆x2+y2-4x-60=0的圆心为F2,直线l过点F1(-2,0)且与x轴不重合,交圆F2于C,D两点,过点F1作CF2的平行线交DF2于点
7、E.(1)求|EF1|+|EF2|的值;(2)设点E的轨迹为曲线E1,直线l与曲线E1相交于A,B两点,与直线x=-8相交于M点,试问在椭圆E1上是否存在一定点N,使得k1,k3,k2成等差数列(其中k1,k2,k3分别指直线AN,BN,MN的斜率).若存在,求出N点的坐标;若不存在,请说明理由.4.(2019重庆巴蜀中学模拟,20)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12,过点E(7,0)的椭圆C1的两条切线相互垂直.(1)求椭圆C1的方程;(2)在椭圆C1上是否存在这样的点P,过点P引抛物线C2:x2=4y的两条切线l1,l2,切点分别为B,C,且直线BC过点A(1,1
8、)?若存在,指出这样的点P有几个(不必求出点的坐标);若不存在,请说明理由.5.(2019广东广雅中学、执信、六中、深外四校联考,20)设斜率不为0的直线l与抛物线x2=4y交于A,B两点,与椭圆x26+y24=1交于C,D两点,记直线OA,OB,OC,OD的斜率分别为k1,k2,k3,k4.(1)若直线l过(0,4),证明:OAOB;(2)求证:k1+k2k3+k4的值与直线l的斜率的大小无关.参考答案高考大题专项(五)直线与圆锥曲线突破1圆锥曲线中的最值、范围问题1.解(1)由题意,ca=63,a2=b2+c2,解得a2=3b2,又1a2+23b2=1,解得a2=3,b2=1,所以椭圆C的
9、标准方程为x23+y2=1.(2)当过点G的椭圆C的一条切线的斜率不存在时,另一条切线必垂直于y轴,易得G(3,1).当过点G的椭圆C的切线的斜率均存在时,设G(x0,y0),x03.切线方程为y=k(x-x0)+y0,代入椭圆方程得(3k2+1)x2-6k(kx0-y0)x+3(kx0-y0)2-3=0,=6k(kx0-y0)2-4(3k2+1)3(kx0-y0)2-3=0,化简得:(kx0-y0)2-(3k2+1)=0,由此得(x02-3)k2-2x0y0k+y02-1=0,设过点G的椭圆C的切线的斜率分别为k1,k2,所以k1k2=y02-1x02-3.因为两条切线相互垂直,所以y02-
10、1x02-3=-1,即x02+y02=4(x03),由知G在圆x02+y02=4上,又点G在直线x+y+m=0上,所以直线x+y+m=0与圆x2+y2=4有公共点,所以|m|1+12,所以-22m22.综上所述,m的取值范围为-22,22.2.解(1)由抛物线定义,得|PF|=x0+p2,由题意得:2x0=x0+p2,2px0=4,p0,解得p=2,x0=1.所以,抛物线的方程为y2=4x.(2)由题意知,过P引圆(x-3)2+y2=r2(0-2,所以90.x1+x2=-8km3+4k2,x1x2=4m2-123+4k2.点M的坐标为-4km3+4k2,3m3+4k2.M,O,P三点共线,kO
11、M=kOP,3m3+4k2-4km3+4k2=12.m0,k=-32,此时方程为:3x2-3mx+m2-3=0,则=3(12-m2)0.m(-23,23).则x1+x2=m,x1x2=m2-33.|AB|2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=1312(12-m2).又d=|8-2m|32+22=2|m-4|13,1213|AB|2+1316d2=(12-m2)+(m-4)24=-34(m+43)2+523.当m=-43(-23,23)时,1213|AB|2+1316d2取得最大值为523.4.解(1)由题意知F(0,2),所以p=4.所以抛物线C的方程为x2=8y.将x2=8y与x2+y2=4联立得点A的纵坐标为yA=2(5-2),结合抛物线定义得|AF|=yA+p2=25-2.(2)由x2=2py得:y=x22p,y=xp,所以直线l的斜率为x0p,故直线l的方程为y-y0=x0p(x-x0).即x0x-py-py0=0.又由|ON|=|-py0|x02+p2=2得p=8y0y02-4且y02-40,所以|MN|2=|OM|2-|ON|2=x02+y0
