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1、第7章 函数的凸性曲线的曲率图1xyO内容摘要凸函数 函数的“凸性”概念最初来自曲线的弯曲方向。例如，曲线(图1)在轴左边是向下弯曲的(称为上凸)，而在轴右边是向上弯曲的(称为下凸)。虽然说“弯曲方向”或“凸性”这些名称是几何上的术语，但经过抽象后的凸函数理论在其它数学分支中也是很有用的。 从图2中看出，向上弯曲(下凸)的曲线上任何两点的连线(弦)的中点在弧的上方；而从图3中看出，向下弯曲(上凸)的曲线上任何两点的连线(弦)的中点在弧的下方。图2ABCDxyO x1 (x1+x2 )/2 x2yABCD图3O x1 (x1+x2)/2 x2x根据上面几何上的启示，我们引入下面的定义：称连续函数
2、在区间内为下凸(上凸)函数，假若对于内任意两点和，都有 () 【注1】在国内早期的一些教科书(包括翻译前苏联的一些教科书)中，都把下凸函数称为“凹函数”，而把上凸函数称为“凸函数”。这里的称呼与新近一些教科书或论文中的称呼是一致的。请读者注意到这些区别。【注2】还请读者注意，通常说“函数在区间内是下(上)凸函数”，若对于内任意两点和与任意，都满足琴生(Jesen)不等式它等价于不等式（其中和为正数且）显然，不等式()是琴生不等式的特殊情形。不过，对于连续函数来说，不等式()与琴生不等式是等价的。因此，我们就用简单的不等式()定义函数的凸性。关于连续函数情形下两者等价性的证明，有兴趣的读者可去看
3、本网站上的专题选讲。【注3】若函数在区间内可微分，则从下图4看出，下凸(上凸)函数的图形上，每一点处的切线都在图形的下面(上面)，而且导函数(切线的斜率)是增大(减小)的。我们也可以证明这个结论 (见专题选讲)。图4 下凸切线 上凸切线定理 设函数在区间内有导数。若导数在内是增大(减小)的，则函数在区间内是下凸(上凸)的。(逆命题也成立。专题选讲中有证明)。假若函数在区间内有二阶导数，那么根据上述定理和判别函数单调性的方法，就有下面判别函数凸性的方法。判别法 设函数在区间内有二阶导数 若，则在区间内是下凸函数因为导数是增函数； 若，则在区间内是上凸函数因为导数是减函数。拐点(变曲点) 函数图形
4、可能在这一段上是上凸的，而在相邻的另一段上又是下凸的(如图1中原点的两边)。这样两段弧的连接点，就称为函数图形(曲线)的拐点(曲线拐弯的点)或变曲点(曲线改变弯曲方向的点)。同时，也把函数图形拐点的横坐标称为这个函数的拐点或变曲点。请读者注意到函数的拐点与函数图形(曲线)的拐点之间的区别!若点是函数的拐点且有二阶导数，则这是因为，例如函数在点的左边近旁下凸时，由于(见注3)，所以 (极限运算单调性)且函数在点的右边上凸时，由于，所以 (极限运算单调性)图5Oxy因此. 同理，若函数在点的左边上凸且在点的右边下凸时，也有. 但是要注意，仅有时，点不一定是函数的拐点。例如函数，尽管有，但不是函数的
5、拐点，因为即函数在原点的两边都是下凸的(图5)。特别，假若函数在区间内有二阶导数,且在点的两边有相反的符号,则就是函数的拐点。此时，当然有勾画函数图形的方法 在中学数学中，画函数图形用的是描点法。它的缺点是不能从整体上把握函数变化的状态。微积分中讲的绘图方法称为解析法，而它的优点正好弥补了描点法的缺陷。我们利用导数的有关信息所画出的略图，使我们能够看出函数的变化状态。例如在哪个区间内，它是增大的或减小的，是下凸的或上凸的；又在哪个点上取到极大值或极小值。因此，把描点法和解析法结合起来就是最好的绘图方法。xy图6O函数图形的渐近线 不管是描点法，还是解析法，都只能画出函数图形的有限部分。对于那些
6、能够伸向无穷远处的函数图形，当函数图形伸向无穷远时，它有可能无限接近某一直线(称它为渐近线)。例如，函数的图形有两条渐近线(图6)。因为它们与轴平行，所以称它们为水平渐近线。求水平渐近线的方法很简单。若存在有穷极限或则曲线就有水平渐近线 函数图形也可能有垂直渐近线。例如函数的图形(图7)有两条垂直渐近线.求垂直渐近线的方法也很简单。若函数有无穷间断点，即(左极限) 或 (右极限)图7yxO则曲线就有垂直渐近线.可见，当函数有无穷间断点时，它才有垂直渐近线。图8 AO d NPxy函数图形还可能有斜渐近线。如图8，设曲线上点到直线的距离为. 在直角三角形中， 按定义，直线是曲线的渐近线，当且仅当
7、点沿曲线伸向无穷远时，有；而，当且仅当有常数和，使 或 于是，当条件满足时，可以按下面的方法求常数和：第一步，先求斜率 因为 且 所以；第二步，再求截距，即 曲线的曲率（理工科专业学生用，经济类专业学生不用）BA图9CD曲线的下凸和上凸说的是曲线的弯曲方向，而曲线的曲率说的是曲线的弯曲程度。直线段没有弯曲，所以认为它的曲率为. 一般情形下，如图9，弧的全曲率规定为起点A处切线方向与终点B处切线方向的偏差. 可是，弧的全曲率与弧的全曲率相同，但前者显然比后者弯曲得更厉害一些。这就是说，弧的弯曲程度与弧本身的长度有关。因此，就像测量物理量或几何量时先确定一个单位那样，把单位长度弧的全曲率取作测量弧
8、时曲率的单位，而把长度为的弧的全曲率同弧长的比值，称为该弧的平均曲率。它有点像质点运动的平均速度。像定义质点运动的瞬时速度那样，把极限AR图10OB定义为弧在点A处的曲率 (其中为弧的全曲率, 为弧的长度)。对于半径为R的圆周来说 (图10)，由于，所以圆周上任一点处的曲率都相等，且曲率为 (半径的倒数)对于一般的弧来说，虽然弧上各点处的曲率可能不尽相同，但是当弧上点处的曲率时，我们可以设想在弧的凹方一侧有一个圆周，它与弧在点相切 (即有公切线)且半径. 这样的圆周就称为弧上点处的曲率圆；而它的圆心称为弧上点处的曲率中心。如图11中那个抛物线在原点或点的曲率圆。请读者注意，因为曲率有可能是负数
9、(在实际应用中，有时把绝对值称为曲率)，而曲率半径要与曲率保持相同的正负号，所以曲率半径也有可能是负数。保留曲率或曲率半径的正负号，以便说明曲线的弯曲方向。图11xO曲率圆yA曲率圆图12xxyO曲率圆A对于用方程表示的弧(图12)，由于， 所以，若有二阶导数，则注意到，则弧上点处的曲率为 (曲率公式) 当时，曲率半径为 (曲率半径公式) 其中，时，曲率和曲率半径都大于，说明曲线弧向上弯曲或曲率圆在弧的上方(图12)。反之，说明曲线弧向下弯曲或曲率圆在弧的下方。例如图11中那个抛物线，因为，所以(曲率) , (曲率半径) 显然，原点处有最大曲率，最小曲率半径. 点处的曲率和曲率半径依次为， 可
10、见，抛物线上离顶点越远，曲率越小，而曲率半径越大。第7-1节 看我做题1.勾画出函数的略图。解 ， 用驻点和(它们有可能是极值点)，与二阶导数等于的点(它有可能是拐点)，将函数的定义区间划分为四个小区间：再把函数在这些小区间内有关和的信息，填在下面的表格中。按照表格中提供的信息，就可以画出它的略图(它没有渐近线。为什么？)。 + - - + - - - + + 极大拐点 2y=x1yxO 1 212x=1第2题图 极小 -1第1题图0x3y-212.勾画出函数的略图。解 因为，所以它有垂直渐近线(没有水平渐近线)。又 ，所以它有斜渐近线(见图)其次， ， 像第1题那样，用函数的驻点和(没有其它
11、临界点和二阶导数等于的点)，把函数的定义域分成若干小区间(注意,是间断点)，并把有关信息填入下面的表格中： 0 1 2 0 0 极大 间断点 2极小 有垂直渐近线和斜渐近线根据表格中提供的信息，就可勾画出函数的略图(见上图)。（*） 经济类专业学生不用看。3.对于用参数方程表示的曲线弧，其中和有二阶导数且不妨认为因为， 把它们依次代入曲率公式和曲率半径公式，则得 (曲率公式)(曲率半径公式)第7-2节 根据提示做习题1.用判别法，验证下列函数在所示区间内是下凸的：； ； 2.用判别法，验证函数与在区间内是上凸的。3.根据判别法，求下列函数的下凸区间或上凸区间：； ； 答案：在内下凸，在内上凸；
12、在内上凸，在内下凸；在与内下凸，在内上凸；在与内上凸，在内下凸。4.设函数为连续偶函数。若在区间内有 且 则在区间内，下列哪一种情形是对的？； ； ； 提示：注意 答案： 又问：若函数为连续奇函数且在区间内有 且 那么上述情形中哪一种是对的？点是它的拐点吗？ 答案：；是拐点5.证明下列不等式：；。 提示：选择适当的下凸函数。6.勾画下列函数的图形：【注】勾画函数图形之前，要注意以下事项：确定函数的定义域；函数是否具有奇偶性或周期性；求出函数的连续区间，并查明它是否有间断点；若有零值点，求出函数的同号区间；求出函数的极值点、最大(小)值点和拐点；确定函数的增大或减小区间、下凸或上凸区间；查明是否有渐近线；查明函数是否还有其它特性。 ； ； ； ； ； 7.证明：若，则有 (几何平均值不超过算术平均值)提示：考虑下凸函数 (理工科学生做以下习题)8.求下列曲线的曲率和曲率半径： (双曲线)； (抛物线)； 答案：；
