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1、#321 直线的方向向量与直线的向量方程【学习目标】1.理解直线的方向向量，了解直线的向量方程2会用向量方法证明线线、线面、面面的平行.3.会用向量证明两条直线垂直 .4.会利用向量求两条直线所成的角.IT问题导学 知识点一用向量表示直线或点在直线上的位置空间中一点的位置或点的思考 在平面中，可以用向量确定平面上一点的位置或点的集合. 集合怎样确定？梳理用向量表示直线或点在直线上的位置(1)在直线l上给定一个定点 A和它的一个方向向量 a,对于直线l上的任意一点P,则有XP=或 0P=或 0P=(AB= a),上面三个向量等式都叫做空间直线的 .向量a称为该直线的方向向量. 线段AB的中点M的
2、向量表达式 0M=.知识点二 用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行1 .设直线l 1和l 2的方向向量分别为 V1和V2,则由向量共线的条件，得 1l/ l 2或丨1与l 2重 合？ .2. 已知两个不共线向量 V1, V2与平面a共面，一条直线l的一个方向向量为 V,则由共面 向量定理，可得l / a 或l在 a 内? .3. 已知两个不共线向量 V1, V2与平面a共面，则由两平面平行的判定与性质，得a / 3或a与B重合？ .知识点三 用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角1. 用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角设两条直线所成的角为0 , V
3、1和V 2分别是l 1和l 2的方向向量，贝U I 1丄l 2? , COS0 = .2. 求两直线所成的角应注意的问题V1 v在已知的两条直线上(或同方向上)取两条直线的方向向量 V1, V2,所以COSV1,V2=.I V1|V 2|但要注意，两直线的夹角与V1,V2并不完全相同，当V1, V2为钝角时，应取其作为两直线的夹角.题型探究类型一空间中点的位置确定例1已知点A2 , 4, 0), B(1 , 3, 3)，如图，以AB勺方向为正向，在直线 AB上建立一条 数轴，P, Q为轴上的两点，且分别满足条件：(1) AP： PB= 1 : 2; AQ： QB= 2.求点P和点Q的坐标.反思
4、与感悟 确定点的坐标可利用向量运算根据两个向量相等列方程解得.i aC i跟踪训练1已知点A(4 , 1 , 3) , B(2 , - 5, 1) , C为线段AB上一点且，则点C的|Ab 3坐标为()1 52 , 2107C.亍，3类型二向量方法处理平行问题 例2如图，已知正方体 ABC- A B C D,点 M N分别是面对角线 A B与面对角线A C的中点.求证： MN/侧面AD ; MN/ AD ,并且 MN= *AD .反思与感悟(1)直线与直线平行、直线与平面平行的向量证法根据是空间向量共线、共面定理.(2)利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时，要注意向量所在的直
5、线与所证直线或平面无公共点.跟踪训练2(1)在长方体 ABCABCD中，AB= 3, AD= 4, AA= 2点M在棱BB上，且BM=2MB,点S在DD上，且SD= 2SD点N R分别为 AD , BC的中点，求证： MN RS(2)如图，已知正方形 ABC刖矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=Q2, AF= 1, M是线段EF的中点.求证： AM/平面BDE类型三两直线所成的角的求解例 3 已知三棱锥 O-ABC如图),OA= 4,0B= 5, 0C= 3，/ AOB=Z BOC= 60, / COA= 90 ,M N分别是棱OA BC的中点求直线 Mh与 AC所成角的余弦值.反思与感悟
6、向量所成角与异面直线所成角的差异：向量所成角的范围是0, n ,而异面直线所成角的范围是 0 , 2 ,故异面直线所成角的余弦值一定大于等于0.跟踪训练3 长方体 ABCA1B1CD中，AB= 4 , BC= BB= 2 , E , F分别是面 ABCD与面BBCC 的中心，求异面直线 AF与BE所成角的余弦值.当堂训练1若直线丨1、丨2的方向向量分别为a= (1 , 2, 2) , b= ( 2 , 3 , 2),则()A.I 1 /I2B.11 丄 12C.I 1、l2相交但不垂直D.不能确定2.设l 1的方向向量a= (1 , 3, 2),丨2的方向向量b= ( 4 , 3 , m),若
7、l 1丄12,则m等于A. 1 B. 2 C. 2 D - 32 23若A( 1, 0, 1), B(1 , 4, 7)在直线l上，则直线I的一个方向向量为()A. (1 , 2, 3)B. (1 , 3, 2)C. (2 , 1, 3)D. (3 , 2, 1)4. 已知向量 a= (4 2m m 1, m 1) , b = (4 , 2 2m, 2 2n)，若 a/ b,则实数 m的值为 ( )A. 1B. 3C. 1或3D.以上答案都不正确5. 已知直线11的一个方向向量为(一7, 3, 4)，直线I2的一个方向向量为(x,y,8)，且I 1/ I 2,贝H x=, y =.p-规律与方
8、法11利用向量可以表示直线或点在直线上的位置.2. 线线平行、线面平行、面面平行问题都可以转化为两个向量的平行问题，证明依据是空 间向量共线、共面定理.3. 用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量.共分三步：(1)建立立体几何与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面， 把立体几何问题转化为向 量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系； (3)根据运算结果的几何意义 来解释相关问题.提醒：完成作业第三章 3.2.1合案精析问题导学知识点一思考 已知向量a,在空间中固定一个基
9、点O再作向量OA匕a,则点A在空间中的位置就被向量a唯一确定了，称向量 a为位置向量.梳理 (1)ta 6Ab ta (1 t)OAb tOB 向量参数方程(2) OAF OB知识点二1 . Vi / V22. 存在两个实数 x, y,使v = xvi+ yv23. vi / 3 且 V2/ 3知识点三1 . Vi 丄 V2 |COS Vi, V2 |2.补角题型探究例i 解由已知，得PB= 2AP即 OB- Sp= 2(Sf SA,6r= 2oaf Ib设点P坐标为(x, y, z)，则上式换用坐标表示，得2i(x, y, z) = 3(2 , 4, 0) + 3(i , 3, 3),x=
10、3 + 3=53,8311y= 3+ 3=Ez= 0 + 1 = 1.一 1 11 、 因此，p点的坐标是i，y，i .(2)因为 AQ： QB= 2,- 所以 AQ= 2QB OQ- OA= 2( OB- OQ, OQ= OA 2OB设点Q的坐标为(x, y, z)，则上式换用坐标表示，得(x , y, z ) = (2 , 4, 0) + 2(1 , 3, 3) = (0 , 2, 6), 即 x= 0, y= 2, z= 6.因此，Q点的坐标是(0 , 2, 6).跟踪训练1 C例 2 证明 设XB= a, XD= b, AA = c, 则AM ?(a+ c) , AN= c+2(a+
11、b), 因此 AN= AN-AM= 2( b+ c).因为M不在平面AD内，所以MN/平面AD .又因为b + c = aD，所以MN= 2aD ,1因此 MN/ AD , MN= AD .跟踪训练2 (1)证明 方法一设AB= a,AD= b, AA = c,则MN= MB+ B1A1 + AN1 1=-c 一 a+ b,3 2MAMA 11RS= RCf CDf DS= 2b一 a+ 3c,23AN= AS 二 AN/ AS 又T R?MN 二 MN/ RS方法二 如图所示，建立空间直角坐标系,则根据题意得M3, 0,NO, 2,2),0), SO , 4 , 3. AN=- 3, 2 ,
12、 2 ,AS= - 3, 2, 3 , A= AS Mn Rs M?RS MIN/ RS 证明 建立如图所示的空间直角坐标系.则点N E的坐标分别是又点A M的坐标分别是令 V, 1.设A8 BD= N,连接NE(2, 2，0)、乎,# 1，社 AM 且 A?NE NE/ AM 又 NH 平面BDE AM?平面BDE AM/平面 BDE例3 解 设OA= a , OB= b, 0C= c ,直线MNW AC所成的角为0 ,则MN= ON- OM=女 b+ c) 1a1M=2( b+ c a), AC= c a.MN2= 4( b+ c a)1 2 2 2= -(| a| + | b| + |
13、c| + 2b c 2a b 2a c)4122245=4(4 + 5 + 3 + 15 2 0 0)=, | AC2= (c a)2= | a|2+ | c|2 2a c2 2 2=4 + 3 0 = 25 ,RN AC= *(b+ c a)(c a)1 2 2=( b c + | c| a b 2a c + | a| )=2蒙+9-10- +16 =45cos B=|cos MN AC1=1_!洱|MN AC直线Mh与AC所成角的余弦值为3,510 .跟踪训练3解 如图，以D为原点建立空间直角坐标系,则 A(2，0，0)，02，4，0)，C(0，4，2)，Ai(2，0，2), E(1 , 2, 2) , F(1 , 4, 1),AF= ( 1, 4, 1),BE= ( 1, 2, 2), I AF =V= /2, |Be =9= 3,XF- BE= 1 8+ 2 = 5,XX 55 V2 cOS AF BE = 3 乙3 一 荷异面直线所成角的范围是0,设AF与BE所成角为0 , 则 cos 0=|cos旅，BE | =器 当堂训练1. B 2.B3.A4.C5. 146
