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1、高中数学导数知识点归纳导数及其应用 一,导数概念的引入 1. 导数的物理意义:瞬时速率。一般的,函数在处的瞬时变化率是yfx,()xx,0fxxfx()()，,00, lim,x0,x,y|我们称它为函数在处的导数,记作戒, yfx,()xx,fx()xx,000fxxfx()()，,00,即= fx()lim0,x0,xPPT2. 导数的几何意义:曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点趋近于时,直线不曲线相切。容易Pnfxfx()(),n0k,P知道,割线的斜率是,当点趋近于时,函数在处的导yfx,()PPPxx,nnn0xx,n0fxfx()(),n0,kfx,lim()数就是切线PT的斜
2、率k,即 0,x0xx,n0,3. 导函数:当x变化时,便是x的一个函数,我们称它为的导函数. 的导函数有fx()fx()yfx,()fxxfx()()，,时也记作,即 yfx()lim,x0,x例一: f，,x,ff，,x,f(1)(1)(1)(1)/若,则= ,= ,f(1),2012limlim,x,0,x,0,x,xf(1),f(1，,x)f，,x,f(12)(1)lim= , = 。 lim,x,0,x,04,x,x二.导数的计算 1，基本初等函数的导数公式: ,1,2 若,则; fxx(),fxx(),3 若,则 fxx()sin,fxx()cos,4 若,则; fxx()cos,
3、fxx()sin,xx,5 若,则 fxa(),fxaa()ln,xx,6 若,则 fxe(),fxe(),1xfx()log,7 若,则 fx(),axaln1,8 若,则 fxx()ln,fx(),x2，导数的运算法则 1,f(x)?g(x),f(x)?g(x); ,2. ()()()()()()fxgxfxgxfxgx,，,fxfxgxfxgx()()()()(),3. ,2gxgx()()3，复合函数求导 xy和,称则可以表示成为的函数,即为一个复合函数 yfu,()ugx,()yfgx,(), yfgxgx,()()一、知识自测: 1、几个常用函数的导数: 2，1，f(x)=C,则f
4、(x)=_ ，2，f(x)=x,则f(x)=_ ，3，f(x)=,则f(x)=_ x1，4，f(x)=,则f(x)=_ ，5，f(x)=,则f(x)=_ xx2、基本初等函数的导数公式: a，1，f(x)=C，C为常数，,则f(x)=_ ，2，f(x)=,则f(x)=_ x(a,Q)，3，f(x)=sinx,则f(x)=_ ，4，f(x)=cosx,则f(x)=_ xx，5，f(x)=,则f(x)=_ ，6，f(x)=,则f(x)=_ ealnx，7，f(x)=,则f(x)=_ ，8，f(x)=,则f(x)=_ logxa3、导数的运算法则: ,f(x),g(x)已知的导数存在,则:，1， f
5、(x),g(x),_f(x),，2， ，3，_ ,f(x),g(x),_,g(x)二、典型例题 例1、求下列函数的导数15(1)y,x(2)y,5(3)y, x(4)y,lnx(5)y,logx(6)y,cosx21、求下列函数的导数:5(1)y,x1 (2)y,5xx(3)y,55(4)y,e例3、根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求下列函数的导数, 3，1， yxx,，2311，2，; y,11，,xx，3，; yxxx,sinlnx，4，; y,x41ln,x，5，, y,1ln，x2x，6，; yxxe,，,(251)sincosxxx,，7， y,cossinxxx，332解
6、:(1)， yxxxxx,，,，,(23)()(2)(3)322。 yx,32(1)(1)，,xx11(2) ,y,()()22(1)(1)，,xx11，,xx11,22xx, 22(1)(1)，,xx111,， 222(1)(1)xxx，,221(1)(1)，,xx ,2(1),x2x(1)，xx ,2xx(1),(1)，xx y,2xx(1),(3) yxxxxxx,(sinln)(ln)sin ,，,(ln)sin(ln)(sin)xxxxxx1 ,，,，,(1ln)sin(ln)cosxxxxxxx,，,，,sinlnsinlncosxxxxxx yxxxxxx,，,，,sinlnsi
7、nlncosxxxxxxxxx,4(4)144ln41ln4(4)y,()， xxxx224(4)(4)41ln4,x。 y,x411ln212,xx(5) y,，,()(1)2()2221ln1ln1ln(1ln)(1ln)，xxxxxx2 y,2xx(1ln)，22xx(6) yxxexxe,，,，,，,(251)(251)()xxx22， ,，,，,(45)(251)(24)xexxexxe2x。 yxxe,(24)sincosxxx,(7) y,()cossinxxx，(sincos)(cossin)(sincos)(cossin)xxxxxxxxxxxx,，,，, 2(cossin)
8、xxx，(coscossin)(cossin)(sincos)(sinsins)xxxxxxxxxxxxxcox,，,，,， ,2(cossin)xxx，xxxxxxxxxcoxsin(cossin)(sincos)s,，, ,2(cossin)xxx，2x, 2(cossin)xxx，lnxxx21、 2、 3、 y,elnxy,2y,3x,xsinxx，12x，2x，3,sin2x2(1) ，2， ，3， y,3y,sin(2x，)y,lnx3122，4， ，5， ，6， y,x1，xy,log(2x，3x，1)y,24(1,3x)四,课堂练习 31、根据基本初等函数的导数公式和导数运算法
9、则,求函数()=-2+3的导数。 fxxx2、求下列函数的导数: 3 (1)y,x，sinx42 (2)y,x,x,x，332 (3)y,2x,3x，5x,42 (4)y,(2x，3)(3x,2)2x(),5ysinx sinx(),6ycosx三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性不导数: 一般的,函数的单调性不其导数的正负有如下,关系: ,在某个区间内,如果,那么函数在这个区间单调递增; (,)abfx()0,yfx,(),如果,那么函数在这个区间单调递减. fx()0,yfx,()Ps:二阶导数,是原函数导数的导数,将原函数进行二次求导。一般的,函数y=f，x，的导数y,=f,，x
10、，仍然是x的函数,则y,=f,，x，的导数叫做函数y=f，x，的二阶导数。 几何意义 ，1，切线斜率变化的速度 ，2，函数的凹凸性，例如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧， 2.函数的极值，局部概念，不导数 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数的极值的方法是: yfx,(),(1) 如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值; fx()0,fx()0,xfx()00,(2) 如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值; fx()0,fx()0,xfx()00(3) 若f,，x，=0,则在该点函数不增不减,可能为极值,也可能就为一过渡点。 4.函数的最大(小)值不导数 函数极大值不最大值之间的
11、关系. 求函数在上的最大值不最小值的步骤 yfx,(),ab，1， 求函数在内的极值; yfx,()(,)ab，2， 将函数的各极值不端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最yfx,()fa()fb()小的是最小值. 可导奇函数的导函数的是偶函数 可导偶函数的导函数的是奇函数 III. 求导的常见方法: 1(ln|x|),? 常用结论:. x(x,a)(x,a).(x,a)12ny,?形如戒两边同取自然对数,可转化求代数和y,(x,a)(x,a).(x,a)12n(x,b)(x,b).(x,b)12n形式. xx 无理函数戒形如这类函数,如取自然对数之后可变形为,对两边求导可?lny,
12、xlnxy,xy,xy1xx,lnx，x,y,ylnx，y,y,xlnx，x得. yx利用导数研究函数的图象 /f(x)1, f，x，的导函数 的图象如右图所示,则f，x，的图象只可能是， D ， ，A， ，B， ，C， ，D， 13y,x,4x，1的图像为32,函数( A ) y y y y 6 6 6 6 4 4 4 4 2 2 2 2 -4 -2 o o 2 4 x o 2 4 x y 2 4 x o x -4 -2 -4 -2 2 4 -2 -2 -2 -2 -4 -4 -4 -4 322x,6x，7,0在(0,2)内根的个数为3,方程 ( B ) A、0 B、1 C、2 D、3 专题
13、8:导数(文) 经典例题剖析 考点一:求导公式。 13,例1. 是的导函数，则的值是 。 fx()f(1),fxxx()21,，32 解析:，所以 ，f,1,1，2,3，fx,x，2答案:3 考点二:导数的几何意义。 1例2. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则yfx,()Mf(1(1)，yx,，22, 。 ff(1)(1)，,115 解析:因为，所以，由切线过点，可得点M的纵坐标为，所以k,f，1,Mf(1(1)，2225f1,，所以 ，f1，f1,32答案:3 32例3.曲线在点处的切线方程是 。 (13)，,yxxx,，2422k,3,4,4,5解析:，点处切线的斜率为，所以设切线方程
14、为(13)，,？y,3x,4x,4b,2，将点带入切线方程可得，所以，过曲线上点处的切线方程为:y,5x，b(13)，,(13)，,5x，y,2,0答案: 5x，y,2,0点评:以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三:导数的几何意义的应用。 32例4.已知曲线C:，直线，且直线l与曲线C相切于点，求l:y,kx，x,yx,0y,x,3x，2x000l直线的方程及切点坐标。 y320，y,x,3x，2xk,x,0解析:直线过原点，则。由点在曲线C上，则，x,y？0000000x0y202,x,3x，2 。又， 在处曲线C的切线斜率为，x,y？y,3x,6x，20000x0222，k,fx,3x,6x，2x,3x，2,3x,6x，2， ，整理得:，解？2x,3x,00000000003131k,l得:或(舍)，此时，。所以，直线的方程为，切点x,y,y,xx,0000284433,坐标是。 ,28,331,l答案:直线的方程为，切点坐标是 y
