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1、有关二项分布的典型问题分析二项分布是在n次独立重复试验中引入的一个概念，它是一种常见的、重要的离散型随机变量的概率分布，引入他们实际上是对独立重复试验从概率分布角度的进一步研究.然而我们在利用二项分布原理解决实际问题时只注意到两点，即解释为什么可以看成二项分布模型，其次是考虑到它的计算，却往往忽视对计算结果进行解释，造成初学者无法摆脱知识上的种种困惑.鉴于此，我们选取几个典型案例进行剖析，供参考.一 保险问题例1设某保险公司有10000人参加人身意外保险.该公司规定:每人每年付公司120元，若逢意外死亡，公司将赔偿10000元.若每人每年死亡率为0.006，试讨论该公司是否会赔本，其利润状况如
2、何.（不考虑公司的其它赔偿费用、其他开支和其它收入）分析：在这个问题中，公司的收入是完全确定的，10000个投保人每人付给公司120元，公司的年收入为120万元。公司的支出取决于投保人中意外死亡的人数（这里略去有关公司日常性开支的讨论，如公司职工工资，行政开支等等），而这是完全随机的，公司无法在事前知道其确切人数。但公司可以知道死亡人数的分布.设X表示这10000人中意外死亡的人数，由于每个人的死亡率为0.006，则X服从n=10000，p=0.006的二项分布: ，k=0,1,2,10000.死亡X个人时，公司要赔偿X万元，此时公司的利润为（120-X）万元。尽管我们无法事前知道这利润的确切
3、值，但由上述分布可知，公司赔本的概率为 0即公司几乎不会赔本（这里的计算量很大，可设计算法程序来计算，体会算法的重要性）。类似地，可以计算，例如公司利润不少于40万元的概率即公司有99.5%的概率能赚到40万元以上。则不难讨论公司获利的其它情形.这个例子告诉我们，面对随机现象，了解分布非常有意义，我们不能保证公司的利润一定不少于40万元，完全可能出现例外的情况.这是随机现象的本性所决定的.但是上述的结果对保险公司确有指导的意义.二 需要多少条外线例2 某电话交换台有1000个用户，在任何时刻各用户是否需要通话是独立的，且每个用户需要需要通话的概率为.问该交换台最少需要多少条外线才能保证各用户在
4、任何时刻同时使用通畅的概率不小于99%？分析：也许，你马上得到需要100099%=990条外线，是这样吗？不妨计算一下，将每一个用户需要通话与否看成一个子试验，因此用户需要使用电话可以看成是p=的1000重独立试验模型.设X表示给定时刻需要通话的用户数.按照题意，就是求满足下列不等式的n，因为可计算得：n 20 25 26 27 28 30P（Xn） 0.8297 0.9804 0.9886 0.9935 0.9965 0.9995所有最少需要27条外线. 上面的例子表明，了解随机现象发生的规律是非常有意义的.为了用户能以99%的概率要通外线，我们无须保留1000条外线中的99%（100099
5、%=990），10%（100条）也用不到，原来线路的5%（50条）就已足够了.只要我们在允许的范围内稍做一些“牺牲”（用户要不通外线的可能性为1%），就能大大降低成本.三 药品检验例3.某地区羊患某种病的概率是0.25，且每只羊患病与否是彼此独立的.今研制一种新的预防药，任选12只羊做实验，结果这12只羊服用此药后均未患病.问此药是否有效.分析：初看起来，会认为这药一定有效，因为服药的羊均未患病.但细想一下，会有问题，因为大部分羊不服药也不会患病，患病的羊只占0.25左右.这12只羊都未患病，未必是药的作用.分析这问题的一个自然想法是：若药无效，随机抽取12只羊都不患病的可能性大不大.若这件事
6、发生的概率很小，几乎不会发生，那么现在我们这几只羊都未患病，应该是药的效果，即药有效.现假设药无效，在此假设下，令x表示任取12只羊中患病的头数，则x服从n=12,p=0.25的二项分布，即 ，k=0,1,12. 12只羊都不患病的概率是.这个概率很小，该事件几乎不会发生，但现在它确实发生了，说明我们的假设不对，药是有效的.这里的分析思想有些像反证法，但并不相同.给定假设后，我们发现，一个概率很小几乎不会发生的事件却发生了，从而否定我们的“假设”.四 买奖券问题例4 试分析：中奖率为的彩票，买1000张一定中奖吗？分析：在奖券抽奖时，试发行了N张奖券，其中M张能中奖，那么买一张的中奖率是,买n
7、张奖券，令X为n张奖券中能中奖的张数，则X服从超几何分布.,k=0,1,min（M,n）中奖的概率是，假定发行的奖券数量巨大，可近似认为每张奖券是否中奖是相互独立的，中奖率不变，令X为n张奖券中能中奖的张数，则X可看作服从二项分布，k=0,1,2,n. 换句话说，当N很大时，参数为N，M,n的超几何分布可用参数为n，p=的二项分布来近似.如果一次抽奖活动中的中奖率为，令X为n张奖券中能中奖的张数，可以近似认为X服从二项分布.，k=0,1,2,n. 中奖的概率记为Pn，有.表中给出了数值的结果：n 1000 2000 30004000 5000Pn 0.632 0.865 0.950 0.982
8、 0.993我们看到中奖率为千分之一的奖券并非买1000张就能中奖，买1000张中奖的概率约为63%，尽管平均买1000张奖券中就有1张能中奖，但如果把“买1000张奖券”看成一次试验，在众多的买1000张奖券的人中，有不中的，有中1张的，也有中2张的，其中不中奖的约占163%=37%.上表还告诉我们，买3000张奖券中奖的概率为95%，再多买2000张，即买5000张，中奖的概率只提高了4.3%，这一事实对如何购买奖券无疑是有参考价值的. 通过上述几个实例，主要对初学者学习此内容的困难进行了分析，帮助他们逐渐熟悉随机变量的思想和语言，进一步认识二项分布的特点，提高他们识别模型和解释结果的能力
