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1、常用數学傅5及 廷僧方法 3.2敦摒拟舍与nrtt構艷拟合筷型C回归模型丿拟合模型约俎建是通过对有关变量的现测數播 （散AS）的观察.分析，遶择恰卅的數学袁达 方式得到的。拟合模型主矣是據讨变量问的内在规律，尽量逸 择筒单的敖学公式农达规律，在筒单的数学表达 丈中选择拟合效果好的在敘播拟合的赫废和敘学农达式簡代程废之问要 取一个折中。折中方案的堆择将取决于宾际问题 的需矣。#散点图例1人口預測1949年一1994年我D人n救揣资料如下：年份 E 49 S4 59 （A 69 74 79 4 89 94 人 n|t y, 5.4 6.0 6.7 7.0 IM 9.1 9.8 10.3 11.3
2、11.8建模分榜我国人口增长的#,預抵1999、2005年 我国人口數。步異：1. 在坐标系上作观测4U*的散点田2. 根攜散点分布的几何特征提出模型。3利用救据估计模型的枣救。4.计算拟合效来#撲理1人口线性增长模型假设：人口随时问线性地增加撲型：y = a + bx 券救估计（最小二呢法）观测值满足：y, = a + b x, + ,i = 1,丄残差平芳和Q = Zex2 = ZG-a - bxo的最小值点:a = - 1.93, b = 0.146 模型：y = 1.93 +0.146x拟合耕皮（残差平方和最小值）Q产02915一元歿迪回归模娄（枣數估计）最小二乘法：求 参數次和b,使
3、得误差平方和最小。0 =另才=工（片_加$7iit厨M +吃兀=二岭1-1 Z“兀+这彳= IiiiZ=（兀-_亍）=a y-fer, b 产XX-D,亍-刀曲n r-4n *-l4 =艺（兀-寸 （1#模型11人口自然增长模型假设：人口自怎增长（指数艷增长）希數模型y=2白歩數估计（最小二柬法）模壁找性化形式in y=ln a+bx设数撈满足In yj =ln a+bxi+ 8|22.3064 b=0.0179 使得k 2 最小 q=00085 ,模型 y=2.3e拟合轄废汕叩=0761 （y轴方角的俣是平方和）讨论棧型1与模世】1拟合结果比较X,495459M69747984y,5.46.
4、06.77.08.19.19.810.3r5.245.97 6.707.4,3A16 A909.6210.360.160.030.00Q43-0.060.200.18-0.06899411.3 11.8 H.09 11.82 0.01 -0.02丿：5.55 6.05 6.62 724 7.91 8.65 9.46 1035 1/3/ 12.37015 - 0.05 0.0 -024 0.09 0.45 034 - 0.05 001 057Zj0.01jj2= 0.11Qi = 029 02=0.74结论笑于拟合棋3?的讨伦#2010年14亿 2010 年 146亿16.33 亿1.线性撲型更
5、适合中国人口的增长。2 预报：1999年揆型112.55亿，模型】11343亿.3人口白皮书:2005年133亿,2005年模型113.43亿，模世】114.94亿, 數据拟合也称回归分析. 基本步骤：1. 问题表述，变爻选择；2. 數据描述性分析，模型设定;3. 线性模型拱数估计；4. 假设检脸；5. 模型诊断与修正；预报并解释问题。#1正确地友述问题是回归分析的第一步，也是聂重 要的一歩.会导致不同的变量选择，建立不同的 模型，从而得出不同的结果.例厶 性别歧视从一个公司提供的有关收入、贵历 和性别数播分析该公司是否存在性别歧视现象. 对性别歧视有不冋的农述(定义),妇女的枚入少于同寻贵历
6、的另性的收入.(b)与冋样枚入约另性相比，妇女一般凡有更高约费扶不同表述得到不F)的銭性模型尸a+bl*xl+b2*x2, 扫夭的收入少于冋等竟历的另柱的收入 模愛1响应变:ty为年拚，預測变量为费历xl和性别x2,斥數血脸P值20009.5242710.0001贵历0.93525318.70.00010.2243370.4790.6329(b)与同样收入的务性相比，妇女一般几有更高的贵历。 模型2响曲变量y为贵历.预*t*xl为性别和年薪x2. 常数16744.4 -18.7 0.0001性别 0.850979 1.96 0.0532 年新 0.836991 18.7 并作必要的预处理。根据
7、数据分布和问 题背素确定因(响应)变苣对自(预测)变 童的依赖关系，即设定模型。3模型饗數估计.对銭性模型町以采用最小二集法.(ab*) = argmmQ(a,b) Q(a,b)=一a一bx 践僅模愛參數稳矣就是近似求解一个息定践性方程 俎？ +九1)=九，k = l,- A即11X:y 2bJJ记 = (, b)T , 1 = (1 b = (A TA) 4 ATy#弘ab“,bp)T j(d)虽(和)*(询Ab = y = b = (ATA)4ATy多元戒柱換愛y = d + + b,p參數枝龙电是近似求解一个起定散性方程俎(np):1 Sx1 X叮0ab、y2 1MATLAB程序 观秦数
8、播(x,y), plot(对r *f)%aa图 采用钱性拟舍模型尸红+b A=ones(sixe(x)1 d ;z=d(l)+d *x;d=polyfit(x,y,l) %拟合一阶多項式 2=d(2)+d *x;#3.y = axb-令z = lny,u = lnx,则有z = lny = lna +b lnx = a*+ b u4. y = l/(a+bx)令z = 1/y,则有z = 1/y = a + bx .5. y = x/ (b+ax)令 z = 1/y, u=l/x,则有z = 1/y = a + b/x = a + b u 6. y = (l+ax)/(l+bx) ?对于非线性
9、棋型y=(x,a),通常经过函数 变换，将其转化为线性模型例，町化为线性回归模型的非线性模型1. y=2+b(x)+b2 f2(x)+bn 4(x) 令于(,则有 y=a+b1u1+bnun.2. y=a e*1.令z=lny,则有 z = lna + bx = a* + bx.#a = V bT. b = I ur- y-yrintVJcX：的95%用信区间、stats(R2决定系数、F值、P概率、Q/(n-p-1)残总均方) 0=：(；-护残是平方和提供直现的拟合效果。貝就1,拟合效果越好；F值越大越好，P值越小越好，Q越小越好.非钱性拟合的Madab程序fun=inline( d(l)
10、exp(d(2) / d，/ 丫 ) d=nlinfit(x,yfun,dO)%拟合非线性函数fun要取好饗数初值dO 回归值)4=&1(呵，一般残差平方和Ql =sum(y-yl).2)会减小 預报值ygfimg)4假设检脸dfbintfrtrint,stats = regress(yA) d拟合系数.d=(a,b) bint系数的世信区间、 r残卷#(1)拟合优度检脸.计算相关MR.人=L(；-yF总鳶羞平方和反映y的离散程度, /. =2-A；-y/回归平方和反映自变量x的作用, 离星平方和=銭差平方和+回归平方和0= 0 + 山n -卜=4口 庁 TT ”决定杲数R2隶示凹归平方和辰总
11、离差平方和中所占比 例，反映y与x相关性的强度。特别，当尸1时,(2)模型假设检脸(F检脸)在多大概率下模型正鞘地刻画了变童之同的关系？ 在假设Hq：片= = 0 下统计童f二回归均方/残菱均方 服从自由度为p和n-pJ的F分布o 如来，F值大于F分布的1a分位点， 等价地，如果概率值PF)Sa则在显蒼水平a下，拒绘假设H”确定.回归方程式显 若的，即认为变童乂对y是有线性多响的。#X0123456789yi1.041.221.381.591.801.992.212.392.652.83y20.280.612.192.562.491.173.171.292.113.27例3：用以上两俎數摄分别
12、拟合两条直銭尸ax+b. 结呆分别得到y=0.8027+0.2013x 和 y=0.8 +0.2025x决定系故F(ftPtfla賣信区何b Xfftgflyi0.998552940.00010.0006(0.7G31. 0.84230.1950.0.2077y20.35284.3610.0702 0.050.7761(-0.5878 2.18781-0.0211,0.4262stats(R统计嵐、F值、P概率.残总均方).对第二组数据，决定系數(R2)表明y2的变化只有 35%是由x决定的，其余由随机因素引起。F值 很小，导致P值大于0.05,于是在带用的覺信度 5%下，线性模型没有显著意义。#yn-p-l(3)系数假设检脸(T检验)对于多元田归模愛，1 + 2孔+勺&丸尢哪几N对y的彩响才的？需矣进一 步的检脸。在假设HO: bi=0下，统计量 服从自由
