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1、三角形内外角平分线一.命题的证明及应用在中考常有与三角形内外角平分线有关的题目，若平时不注意总结是很难一下子解决的下面来一起学习一下命题1 如图，点D是ABC两个内角平分线的交点，则D=90+A证明：如图：1，2122A18012D=180得：12AD由得：12=180D把代入得：180DADD=90+A点评 利用角平分线的定义和三角形的内角和等于180，不难证明.命题2 如图，点D是ABC两个内角平分线的交点，则D=90A证明：如图：DB和DC是ABC的两条外角平分线，D=18012=180（DBE+DCF）=180（A+4+A+3）=180 （A+180）=180 A90=90 A；点评
2、利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和以及三角形的内角和等于180，可以证明.命题3 如图3，点E是ABC一个内角平分线与一个外角平分线的交点，则E=A证明：如图3：1=2，3=4，A+21=241+E=4代入得：E=A点评 利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和，很容易证明.命题4如图，点E是ABC一个内角平分线BE与一个外角平分线CE的交点，证明:AE是ABC的外角平分线.证明：如图3：BE是ABC的平分线,可得：EH=EFCE是ACD的平分线, 可得：EG=EF过点E分别向AB、AC、BC所在的直线引垂线，所得的垂线段相等.即EF=EG=EHE
3、G=EHAE是ABC的外角平分线 点评 利用角平分线的性质和判定能够证明应用上面的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题，下面来一起看例1如图5，PB和PC是ABC的两条外角平分线已知A=60，请直接写出P的度数.三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？解析：由命题2的结论直接得：P=90 A=90 60=60根据命题2的结论P=90 A，知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个角都是锐角，则该三角形是锐角三角形点评 此题直接运用命题2的结论很简单同时要知道三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形例 如图6，在ABC中，延长BC到D,ABC与A
4、CD的角平分线相较于点，BC与CD的平分线交与点，以此类推，若A=96，则= 度解析：由命题的结论不难发现规律A可以直接得：=96=3 点评此题是要找出规律的但对要有命题的结论作为基础知识例（203陕西第一大题填空题第八小题，此题分）如图7，ABC的外角ACD的平分线CP的内角ABC平分线BP交于点P，若BPC=40，则CAP=_解析：此题直接运用命题的结论可以知道是ABC的一个外角平分线，结合命题的结论知道BAC=2BPC, CAP=(180BAC )= (1802BPC )=50点评对命题3、4研究过的读者此题不难，否则将是一道在考试的时候花时间也不一定做的出来的题目例(2003年山东省)
5、如图，在RtABC中，ACB=90，BAC=30，ACB的平分线与ABC的外角平分线交与E点，连接AE，则AEB= 度解析：有题目和命题的结论可以知道AE是ABC的一个外角平分线, 结合命题2的结论知道AEB=ACBACB=9090=45点评 从上面的做题过程来看题目中给出的“A=30”这个条件是可以不用的二.角平分线定理使用中的几种辅助线作法一、已知角平分线，构造三角形例题、如图所示，在ABC中，ABC=3C，AD是BAC的平分线，BEAD于F。求证：证明：延长BE交AC于点F。因为角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线， 所以AD为BAC的对称轴，又因为BEAD于F，所以点B和点F关
6、于AD对称，所以BE=FE=BF，AB=AF，ABF=AFB。因为ABFFBC=ABC=3C，ABF=AFB=FBCC，所以FBCCFBC=3C，所以FBC=C，所以FB=FC，所以BE=FC=（ACAF）=（ACAB），所以。二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段如图所示，1=2，P为BN上的一点，并且PDBC于D，ABBC=2BD。求证：BAPBCP=180。证明：经过点P作PEAB于点E。因为PEAB，PDBC，1=2，所以PE=PD。在RtPBE和RtPBC中所以RtPBERtPBC（HL），所以BE=BD。因为ABBC=2BD，BC=CDBD，AB=BEAE，所以A
7、E=CD。因为PEAB，PDBC，所以PEB=PDB=90.在PAE和RtPCD中所以PAERtPCD，所以PCB=EAP。因为BAPEAP=180，所以BAPBCP=180。三、已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段例题、如图所示，在ABC中，PB、PC分别是ABC的外角的平分线，求证：1=2证明：过点P作PEAB于点E，PGAC于点G，PFBC于点F因为P在EBC的平分线上，PEAB，PHBC，所以PE=PF。同理可证PF=PG。所以PG=PE，又PEAB，PGAC，所以PA是BAC的平分线，所以1=2。 三.角平分线-应用 三角形的角平分线是三角形的主要线段之一，它在几何
8、的计算或证明中，起着“桥梁”的作用那么如何利用三角形的角平分线解题呢？下面举例说明一、由角平分线的性质联想两线段相等EMDFCBA图1例1 如图1，ABAC，A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，自D作DEAB，DFAC，垂足分别为E，F求证：BE=CF证明 连结DB，DCD在A的平分线上，DE=DFD在BC的垂直平分线上，BD=DC又BED=CFD=90，RtBDERtCDF，BE=CF二、由角平分线的轴对称性构造全等三角形例2 如图2，BCAB，BD平分ABC，且AD=DC求证：A+C=180证明 延长BA至F，使BF=BC由BD平分ABC在FBD与CBD中，BF=BC ABD=CBD B
9、D=BDFBDCBD，FDCBA图2C=F，DF=CD=AD，F=DAF，A+C=BAD+DAF=180三、过角平分线上一点作一边的平行线，构成等腰三角形例3 已知：如图3，ABC的平分线BF与ACB的平分线CF相交于点F，过F作DEBC，交AB于D，交AC于E，求证：BD+CE=DEEFCBDA图3证明：BF是ABC的平分线 DBF=CBF 又DEBC DFB=CBFDBF=DFBBD=FD，同理CE=FEBD+CE=DF+FE=DE四、实际生活中的应用例4 如图4，有三条公路、两两相交，要选择一地点建一座加油站，是加油站到三条公路的距离相等，应如何选择建加油站的地址？这样的位置有几种选择？
10、图4解析：分别作ABC两内角的平分线，它们相交于一点，根据角平分线的性质知，这个点到三条公路的距离相等；或者分别作ABC相邻两外角的平分线，它们的交点到三条公路的距离也相等，这样点共有三个，所以建加油站的位置共有4种选择 五.角平分线携“截长补短”显精彩 角的平分线具有其特有的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.eg1 . 如图1-1，ADBC，点E在线段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB.求证：CD=AD+BC.图1-1分析：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在
11、CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.证明：在CD上截取CF=BC，如图1-2在FCE与BCE中，FCEBCE（SAS）,2=1.图1-2又ADBC，ADC+BCD=180，DCE+CDE=90，2+3=90，1+4=90，3=4.在FDE与ADE中，FDEADE（ASA），DF=DA，CD=DF+CF，CD=AD+BC.eg2. 已知，如图2-1，1=2，P为BN上一点，且PDBC于点D，AB+BC=2BD.求证：BAP+BCP=180.图2-1分析：证两个角的和是180，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明BCP=EAP，
12、因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点E，如图2-21=2，且PDBC，PE=PD，在RtBPE与RtBPD中，图3-22-2RtBPERtBPD(HL),BE=BD.AB+BC=2BD，AB+BD+DC=BD+BE，AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE.在RtAPE与RtCPD中,RtAPERtCPD(SAS),PAE=PCD又BAP+PAE=180,BAP+BCP=180图3-1eg3.已知：如图3-1，在ABC中，C2B，12.求证：AB=AC+CD.分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.证明：方法一（补短法）图3-2延长AC到E，使DC=CE，则CDECED，如图3-2ACB2E，ACB2B，BE，在ABD与AED中,ABDAED（AAS）,AB=AE.又AE=AC+CE=AC+DC，AB=AC+DC.图3-3方法二（截长法）在AB上截取AF=AC，如图3-3在AFD与ACD中,AFDACD（SAS）
