《高中数学苏教版选修21学案：第2章 圆锥曲线与方程 5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学苏教版选修21学案：第2章 圆锥曲线与方程 5（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 精品资料25圆锥曲线的统一定义学习目标1.了解圆锥曲线的统一定义.2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题知识链接1椭圆上一点到准线距离与它到对应焦点距离之比等于多少？答：.2动点M到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离之比为定值的轨迹一定是圆锥曲线吗？答：当Fl时，动点M轨迹是圆锥曲线当Fl时，动点M轨迹是过F且与l垂直的直线预习导引1圆锥曲线的统一定义平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹0e1时，它表示双曲线；e1时，它表示抛物线2对于椭圆1 (ab0)和双曲线1(a0，b0)中，与F(c,0)对应的准线方程是l：x，与F(
2、c，0)对应的准线方程是l：x；如果焦点在y轴上，则两条准线方程为y.要点一统一定义的简单应用例1椭圆1上有一点P，它到左准线的距离等于2.5，那么，P到右焦点的距离为_答案8解析如图所示，PF1PF22a10，e，而e，PF12，PF210PF11028.规律方法椭圆的两个定义从不同角度反映了椭圆的特征，解题时要灵活运用一般地，如果遇到有动点到两定点距离和的问题，应自然联想到椭圆的定义；如果遇到有动点到一定点及一定直线距离的问题，应自然联想到统一定义；若两者都涉及，则要综合运用两个定义才行跟踪演练1已知椭圆1上一点P到右焦点F2的距离为b(b1)，求P到左准线的距离解方法一由1，得a2b，c
3、b，e.由椭圆第一定义，PF1PF22a4b，得PF14bPF24bb3b.由椭圆第二定义，e，d1为P到左准线的距离，d12b，即P到左准线的距离为2b.方法二e，d2为P到右准线的距离e，d2b.又椭圆的两准线的距离为2b，P到左准线的距离为bb2b.要点二应用统一定义转化求最值例2已知椭圆1内有一点P(1，1)，F是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M，使MP2MF之值为最小解设d为M到右准线的距离e，d，即d2MF(如图)故MP2MFMPMM.显然，当P、M、M三点共线时，所求的值为最小，从而求得点M的坐标为(，1)规律方法本例中，利用统一定义，将椭圆上点M到焦点F的距离转化为到准线的距离，
4、再利用图形的形象直观，使问题得到简捷的解决跟踪演练2已知双曲线1的右焦点为F，点A(9,2)，试在双曲线上求一点M，使MAMF的值最小，并求这个最小值解过M作MN垂直于双曲线的右准线l于N，由第二定义可知MN(如图)又a3，b4，c5，e，MNMF，MAMFMAMN，显然当M、N、A三点共线时MAMNAN为最小，即MAMF取得最小值，此时AN99，MAMF的最小值为，此时点M(，2)要点三圆锥曲线统一定义的综合应用例3已知A、B是椭圆1上的点，F2是右焦点，且AF2BF2a，AB的中点N到左准线的距离等于，求此椭圆方程解设F1为左焦点，则根据椭圆定义有：AF1BF12aAF22aBF24a(A
5、F2BF2)4aaa.再设A、B、N三点到左准线距离分别为d1，d2，d3，由梯形中位线定理有d1d22d33，而已知b2a2，c2a2，离心率e，由统一定义AF1ed1，BF1ed2，AF1BF1ae(d1d2)，a1，椭圆方程为x21.规律方法在圆锥曲线有关问题中，充分利用圆锥曲线的共同特征，将曲线上的点到准线的距离与到焦点的距离相互转化是一种常用方法跟踪演练3设P(x0，y0)是椭圆1(ab0)上任意一点，F1为其左焦点(1)求PF1的最小值和最大值；(2)在椭圆1上求一点P，使这点与椭圆两焦点的连线互相垂直解(1)对应于F1的准线方程为x，根据统一定义：e，PF1aex0.又ax0a，
6、当x0a时，(PF1)mina(a)ac；当x0a时，(PF1)maxaaac.(2)a225，b25，c220，e2.PFPFF1F，(aex0)2(aex0)24c2.将数据代入得25x40.x0.代入椭圆方程得P点的坐标为，.1已知方程(1k)x2(1k)y21表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为_答案1k1解析由题意得解得即1kc恒成立，由椭圆性质知OPb，其中b为椭圆短半轴长，bc，c22c2，()2，e.又0e1，0e0，b0)的离心率为，右准线方程为x，则双曲线方程为_答案x21解析由得所以b2312.所以双曲线方程为x21.6已知抛物线y22px的准线与双曲线x2y22的
7、左准线重合，则抛物线的焦点坐标为_答案(1,0)解析双曲线的左准线为x1，抛物线的准线为x，所以1，所以p2.故抛物线的焦点坐标为(1,0)7已知双曲线的渐近线方程为3x4y0，一条准线方程为y，求该双曲线的标准方程解由已知可设双曲线的标准方程为1(a0，b0)由题意有解得所以所求双曲线方程为1.二、能力提升8已知点P在椭圆1上，F1、F2是椭圆的上、下焦点，M是PF1的中点，OM4，则点P到下准线的距离为_答案解析因为OM是F1F2P的中位线，所以PF22OM8.又e，所以P到下准线的距离d8.9若双曲线1(a0，b0)上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线的离心率的取值
8、范围是_答案(2，)解析由已知得()e，即3c25ac2a2，所以3e25e20，解得e2或e0，b0)则由题设得解得所以双曲线的标准方程为1.(2)由(1)可知双曲线的右准线为x.它也是抛物线的准线，所以，故抛物线的标准方程为y2x.12设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e，点F2到右准线l的距离为.(1)求a、b的值；(2)设M、N是l上的两个动点，0，证明：当|取最小值时，0.(1)解因为e，F2到l的距离dc，所以由题设得解得c，a2.由b2a2c22，得b.故a2，b.(2)证明由c，a2得F1(，0)，F2(，0)，l的方程为x2，故可设M(2，y1)，N(2，
9、y2)由0知(2，y1)(2，y2)0，得y1y26，所以y1y20，y2.|y1y2|y1|y1|2，当且仅当y1时，上式取等号，此时y2y1，所以，(2，0)(，y1)(，y2)(0，y1y2)0.三、探究与创新13.如图所示，已知某椭圆的焦点是F1(4，0)、F2(4,0)，过点F2作垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且F1BF2B10，椭圆上不同的两点A(x1，y1)，C(x2，y2)满足条件：F2A、F2B、F2C成等差数列(1)求该椭圆的方程；(2)求弦AC中点的横坐标解(1)由椭圆定义及条件知，2aF1BF2B10，得a5，又c4，所以b3.故椭圆方程为1.(2)由点B(4，yB)在椭圆上，得F2ByB.因为椭圆右准线方程为x，离心率为，根据椭圆定义，有F2A，F2C，由F2A、F2B、F2C成等差数列，得2，由此得出x1x28.设弦AC的中点为P(x0，y0)，则x04.
