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1、漫谈投资组合的的几何增值理理论从掷硬币打赌看看投资组合问问题什么是投资组合合？首先我们们从掷硬币打打赌谈起。假设有一种可以以不断重复的的投资或打赌赌，其收益由由掷硬币确定定，硬币两面面出现的可能能性相同； 出A面你投一亏亏一，出B面你投一赚赚二；假设你你开始只有1100元，输输了没法再借借。现在问怎怎样重复下注注可以使你尽尽快地由百元元户变为百万万元户?我们可以象小孩孩子玩登山棋棋那样，几个个人下不同的的赌注，然后后重复掷硬币币，看谁最先先变成百万富富翁。你可能能为了尽快地地变为百万富富翁而全部押押上你的资金金。 可是只要有有一次你输了了，你就变成成穷光蛋，并并且永远失去去发财机会。你你可能每
2、次下下注10元。但是是，如果连输输10次，你就就完了。再说说，如果你已已经是万元户户了，下100元是不是太太少了? 每次将你你的所有资金金的10%用来下下注，这也许许是个不错的的主意。首先先，你永远不不会亏完(假设下注的的资金可以无无限小)； 第二，长此此以往，赢亏亏的次数大致致相等时，你你总是赚的。假假设平均两次次，你输一次次赢一次，则则你的资金会会变为原来的的(1+0.2)(1-0.1)=1.08倍。可可是，以这样样的速度变为为百万富翁是是不是太慢了了，太急人了了? 有没有更更快的方法? 有! 理论研究究表明，每次次将你所有资资金的25%或0.25倍用用来下注，你你变为百万富富翁的平均速速
3、度将最快。几个不同下注比比例带来的资资金变化如图图1所示(掷币结果分分别是A, B, A, B, .)。实实验表明，张张大胆每次投投100，嬴嬴时嬴得多，可可亏时亏得惨惨，一次亏损损就永远被淘淘汰出局。李李糊涂每次下下50，收益益大起大落，到到头来白忙。王王保守每次下下10，稳赚赚但少赚；“你”每次下25，长期期看结果最好好。图1 资金增值值随几种不同同投资比例的的变化前面的打赌中，硬硬币只有一个个。 如果同时有有两个、三个个或更多，各各个硬币盈亏亏幅度不同，两两面出现的概概率（频率或或可能性）也也可能不同；怎样确定在在不同硬币上上的最优下注注比例？如果果不同硬币出出现A面B面是不同程程度相关
4、的(比如一个出出A面，另一个个十有八九相相同?正相关，或或相反反反相关)，又如何确确定最优下注注比例？股票票、期货、期期权、放贷、房房地产、高科科技等投资象象掷硬币打赌赌一样，收益益是不确定的的且相互关联联的。 如何确定不不同证券或资资产上的投资资比例，以使使资金稳定快快速增长并控控制投资风险险，这就是投投资组合理论论要解决的问问题。投资组合也就是是英文说的pportfoolio。当当今世界上著著名的投资组组合理论是美美国的马科维维茨(H. Markoowitz)理论。笔者者则从自己建建立的一个广广义信息理论论(参见专著广广义信息论，中中国科技大学学出版社，11993)和和自己的投资资实践出发
5、，得得到了投资组组合的几何增增值理论，或或者叫熵(sshang)理论（因为为其中采用了了同物理学和和信息论中的的熵函数相似似的熵函数作作为优化标准准）， 并完成了专专著投资组组合的熵理论论和信息价值值?兼析股票票期货等风险险控制（中中国科技大学学出版社，11997)。现现在笔者知道道美国的H. A. LLatanee 和D. L. Tutttle最早提提出了用几何何平均产出比比?即1+几何平均均收益或平均均复利?作为优化化证券组合的的准则；后来来T. E. Coveer等人研究究了用几何平平均产出比的的对数作为优优化准则. 不同的是，笔笔者的研究更更注重应用。马科维茨理论及及其缺陷1952年，
6、马马科维茨发表表了有家证证券的选择：有效的转移移。这篇开开创性的论文文导致了一个个新理论?投资组合理理论?的诞生。19990年，瑞瑞典皇家科学学院将诺贝尔尔经济学奖授授予了H. 马科维茨，WW. 夏普(Shaape) 和和W. 米勒(Milller), 以表彰它它们在投资组组合和证券市市场理论上的的贡献。马科维茨用收益益的期望E和标准方差差?表示一种证证券的投资价价值和风险。期期望收益也就就是算术平均均收益。收益益的标准方差差反映了收益益的不确定性性。比如对于于上一节谈到到的掷硬币打打赌(亏时亏一倍倍，嬴时嬴两两倍)，用全部资资金下注时，E=P1 r11+P2 rr2 =0.5(-1)+0.5
7、2=0.55? =P1( r1-EE)2+P22( r2-E)200. 5=0.5(-1-0.55)2+0.5(2-00.5)20.5=11.5上式中P1=00.5和r1= -1是亏钱的的概率和幅度度，P2=00.5和r2=2是嬴嬴钱的概率和和幅度。根据据马科维茨理理论，期望越越大越好，而而标准方差越越小越好。标标准方差反映映了收益的不不确定性或投投资风险。至至于两种证券券或两种组合合，一个比另另一个期望收收益大，标准准方差也大，那那么选择哪一一个好呢？马马科维茨理论论认为这没有有客观标准。有有人不在乎风风险而只希望望期望收益越越大越好，而而有人为了小小一些的风险险而情愿要低低一些的期望望收益
8、。马科维茨证明了了，通过分散散投资互不相相关或反相关关的证券，可可以在不降低低期望收益的的情况下，减减小总的投资资的标准方差差(即风险). 比如同时用用两个硬币打打赌，嬴亏幅幅度同样，每每种证券下注注50%时, 收益的可可能性有三种种：1)两边亏，亏亏100，概概率是1/44=0.255; 2)一一亏一嬴，嬴嬴50, 概率是1/22=0.5 ; 3)两两边嬴，嬴2200，概概率是1/44=0.255. 这时期期望收益E=0.5不变变，标准方差差由1.5减小为为?=0.255(-1-00.5)2+0.5(00.5-0.5)2+00.25(22-0.5)0. 55=1.066如果两个硬币的的嬴亏总
9、是反反相关的，比比如一个出AA面，另一个个必定出B面，反之亦亦然；则期望望收益不变，标标准方差为00?完全无无风险。马科维茨理论的的成就是巨大大的，但是其其缺陷也是不不可忽视的。缺缺陷之一是：不认为有客客观的最优投投资比例，或或者说并不提提供使资金增增值最快的投投资比例(当然也就不不能解决前面面的掷硬币打打赌问题)； 缺陷之二是是：标准偏差差并不能很好好反应风险。下下面我们举例例说明。例：两种证券当当前价格皆是是1元，证券券I(象是期期权)未来价价格可能是00元和2元，概概率分别为11/4和3/4（参看图图1，其中产产出比=产出出比=本利和和/本金=11+收益)。证证券II(象象是可转换债债券
10、)的收益益的期望和标标准方差同样样是0.5和和0.8866，但是收益益的概率分布布以0.5为为中心(产出出比以1.55为中心，)对称反转了了一下.两者者投资价值分分析如表1所所示(这里忽忽略银行利息息和交易手续续费)。图 1 期望和和标准方差相相同但风险不不同的两个证证券表 1 期望和和标准方差相相同的两种证证券的投资价价值分析期望标准方差下100时平平均复利优化比例优化后平均复利利比例证券 I0508861005015证券 II0508863210032表中最优投资比比例?1000%意味着：如果可以贷贷款或透支，投投更多更好。按按Markoowitz 理论，A和B投资价值相相同，而按常常识和
11、投资组组合的几何增增值理论，BB远优于A。 对于存在大大比例亏损可可能的投资，比比如期权、期期货、放贷(可能收不回回本金)、卫星发射射和地震保险险（风险极大大而标准方差差并不大），马马科维茨理论论的缺陷尤为为明显。几何级数增值的的魅力1988-19989年，日日本股市从221564点点上涨了800，到达388921点；然后开始大大跌，19992年8月跌到141194点，跌跌幅达63。虽然然80大于63，算术术平均大于00，可是总的的来说是跌的的，跌了约11/3，因为为累积产出比比是 (1+0.8)(1-0.663)=0.666，累累积收益是00.666-1= -00.334-33.44. 炒过
12、股票的人都都知道，如果果你总是将所所有的资金买买入股票，则则先赚50% 再亏50%； 或者先亏后后赚，虽然算算术平均收益益是0，可是你的的资金会变少少(变成0.51.5=00.75倍)。可见算术术平均收益不不能反映实际际增值情况。能反映实际增值值的收益是什什么呢？是几几何平均收益益。设每一元元资金投资NN年后变为M元，则累计计产出比是MM/1=M。 累计产出比比的N次开方M1/N被称为几几何平均产出出比， 我们记为Rgg, 即Rg=M11/N 。 投资的平均均复利又叫几几何平均收益益，我们记为为rg，则有rg=Rg-1. 可见几何何平均产出比比或几何平均均收益才能反反映长期投资资业绩。因为为N
13、年累积产出比比M=RgNN =(1+rg)N.投资组合的几何何增值理论(或者说熵理理论)就是用几何何平均产出比比作为优化投投资组合的标标准，根据这这一标准，使使几何平均收收益达最大的的投资比例就就是最好的投投资比例。稳定的几何增长长具有无比的的魅力。几何何平均收益的的微小优势，在在长期累计后后可能导致惊惊人的成功。下下表显示了几几何平均收益益对20年累积产产出比的影响响。表1 几何平均均收益对200年累积产出出比的影响几何平均收益10%15%20%23.8%20年产出比6.716.438.371.5其中23.8%就是巴费特特管理的伯克克希尔公司332年里的几几何平均收益益。在过去的的32年里，
14、伯伯克希尔公司司每股资产从从19美元增长长到190111美元，算算术平均年收收益大约是11000/332=31225，可是是几何平均年年收益只有223.8%. 美国的基基金管理大师师彼得林奇之所以以有成功，是是因为他十年年里使基金的的几何平均收收益达到300。有人做做过计算说明明，虽然两百百年前美国政政府从印地安安人手里以极极便宜的价格格买了大片土土地，但是如如果印地安人人把钱存入银银行每年得到到现在美国长长期国债的收收益，则利滚滚利后，印地地安人现在将将极其富有，足足以买回更大大面积的土地地。可见稳定定的几何平均均收益的威力力。有人炒期货看到到可能的盈利利幅度大于亏亏损幅度就大大量投入；有有
15、人炒期货还还要透支。 中国人在期期货市场上破破产的比例极极大，原因就就是因为许多多人看不到稳稳定增值的重重要性。许多股民类似，他他们对收益波波动极大的亏亏损垃圾股、庄庄股、新股、权权证等倍加追追捧；而对收收益较为稳定定的年收益达达2030的投资资（比如认购购新股)不以为然。这这不能不说是是中国股市不不成熟的表现现。笔者特别羡慕那那些有稳定收收入的年轻人人。只要他们们有耐心，采采取稳健的策策略(比如每年认认购新股，如如果认购新股股效益不变的的话)，一、二十十年后成为百百万富翁将极极其容易。当当然，对于包包括笔者在内内的许多人?既不年轻轻又有生活压压力，要成为为百万富翁，我我们当采取更更加进取的投投资策略，即即选择多种投投资方式，优优化投资组合合，赢得更高高的几何平均均收益。掷硬币打赌问题题的数学解答答掷硬币打赌问题题是：有一种种可以不断重重复的投资或或打赌，其收收益由掷硬币币确定，硬币币两面出现的的可能性相同同； 出A面你投一亏亏一，出B面你投一赚赚二；假设你你开始只有1100元，输输了没法再借借。现在问怎怎样重复下注注可以使你尽尽快地由百元元户变为百万万元户? 不知读者是否记记得中学学过过的抛物线公公式y=axx2+bxc。抛物线可可以用来描述述炮弹飞行轨
