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1、高中数学第11周基本不等式周末培优理新人教A版必修5第11周 基本不等式（测试时间：50分钟，总分：100分）班级：_ 姓名：_ 座号：_ 得分：_一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（2017山东理）若，且，则下列不等式成立的是ABCD【答案】B【解析】因为，且，所以，所以，故选B【名师点睛】比较幂或对数值的大小，若幂的底数相同或对数的底数相同，通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同，可考虑利用中间量进行比较本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断2若，且，则的最小值为
2、ABCD【答案】D3已知向量，且，若，为正数，则的最小值是ABCD【答案】D【解析】因为，所以，即，那么，等号成立的条件为，即，解得，所以的最小值为8，故选D4若正实数a，b满足，则A有最大值4Bab有最小值C有最大值D有最小值【答案】C由可得（当且仅当，时，等号成立），故D错误故选C5在中，A，B，C分别为边a，b，c所对的角，且a，b，c成等差数列，则角B适合的条件是ABCD【答案】B【解析】因为a，b，c成等差数列，所以，所以，当且仅当时等号成立又为三角形的内角，所以故选B6已知等比数列中，则A有最小值6B有最大值6C有最小值6或最大值D有最大值【答案】C7已知三个实数成等比数列，若有成
3、立，则实数的取值范围是ABCD【答案】C【解析】由题设可得，所以由基本不等式可得，即，解得，又，故或，故实数的取值范围是故选C【名师点睛】解答本题的关键是运用基本不等式建立关于参数的不等式，然后求出不等式的解集，容易出现错误的地方是忽视等比数列中的项非零而得到，从而错选答案B，这是许多同学都容易忽视的地方8已知，则下列结论错误的是A的最大值为B的最小值为C的最大值为D没有最小值【答案】D9（2017天津理）已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是ABCD【答案】A【解析】不等式可化为 (*)，当时，(*)式即，即，又（当时取等号），（当时取等号），所以，当时，(*)式为，又（
4、当时取等号），（当时取等号），所以综上，故选A【名师点睛】首先将转化为，涉及分段函数问题要遵循分段处理的原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的取值范围二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分将正确的答案填在题中的横线上10（2017天津理）若，则的最小值为_【答案】【名师点睛】利用均值不等式求最值时要灵活运用以下两个公式：，当且仅当时取等号；，当且仅当时取等号解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”11已知，则的取值范围是_【答案】【解析】因为，且，所以，又，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的取值范围是故
5、填12（2017江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是_【答案】【解析】总费用为，当且仅当，即时等号成立故填【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误13（2017山东）若直线过点（1，2），则的最小值为_【答案】【解析】由直线 过点（1，2）可得，所以当且仅当，即时等号成立【名师点睛】应用基本不等式解题一定要注意应用的前提条件
6、：“一正”“二定”“三相等”，在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式14直线被圆截得弦长为2，则的最小值为_【答案】【方法点睛】当函数或代数式具有“和是定值”、“积是定值”的结构特点时，常利用基本不等式求其最大、最小值在具体题目中，一般很少考查基本不等式的直接应用，而是需要对式子进行变形，寻求其中的内在关系，然后利用基本不等式得出结果三、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分10分）已知实数，满足（1）若，求的最小值；（2）求关于的不等式的解集【答案】（1）；（2）【解析】
7、（1）由及，可得因为，所以，（3分）当且仅当，即时取等号，此时所以的最小值为（5分）（2）由（1）可得，且，原不等式可化为，即所以，即且（8分）所以原不等式的解集为（10分）16（本小题满分10分）某企业要建造一个容积为18m3，深为2m的长方体形无盖贮水池，如果池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，怎样设计该水池可使得总造价最低？最低总造价为多少？【答案】将水池的地面设计成边长为m的正方形时总造价最低，最低总造价为元【解析】设底面的长为m，宽为m，水池总造价为元，则由容积为m3，可得，因此，（3分）所以（7分）当且仅当时取等号，（8分）所以将水池的地面设计成边长为m的正方形时总造
8、价最低，最低总造价为元（10分）17（本小题满分10分）已知实数，满足，且（1）证明：；（2）是否存在实数，使得成立？若存在，请求出实数，的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）不存在【解析】（1）可化为，再用基本不等式可得，最后再由基本不等式可得，等号成立的条件都是，从而可证得；（2）同样两次应用基本不等式得，但两次应用基本不等式时等号成立的条件不可能实现，故不存在实数，使得【名师点睛】利用基本不等式求最值，要注意结论应用的前提是：“一正”“二定”“三相等”，所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用定理求最值时，和或者积为定值，“三相等”是指等号成立在连续使用基本不等式时，注意等号要同时成立，最后的最值才能取到1
