立体几何中的探索性问题

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1、 立体几何中的探索性问题一、探索平行关系12016枣强中学模拟 如下图,在正四棱柱A1C中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH与其部运动,那么M只需满足条件_,就有MN平面B1BDD1.(注:请填上一个你认为正确的条件,不必考虑全部可能的情况)答案:M位于线段FH上(答案不唯一)解析 连接HN,FH,FN,那么FHDD1,HNBD,FHHNH,DD1BDD,平面FHN平面B1BDD1,故只要MFH,那么MN平面FHN,且MN平面B1BDD1.2.如下图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是棱DD1的中点(1)求直线BE和平面AB

2、B1A1所成的角的正弦值;(2)在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F平面A1BE?证明你的结论解:(1)如下图,取AA1的中点M,连接EM,BM.因为E是DD1的中点,四边形ADD1A1为正方形,所以EMAD.(2分)又在正方体ABCDA1B1C1D1中,AD平面ABB1A1,所以EM平面ABB1A1,从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影,EBM为BE和平面ABB1A1所成的角(4分)设正方体的棱长为2,那么EMAD2,BE3.于是,在RtBEM中,sinEBM,(5分)即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为.(6分)(2)在棱C1D1上存在点F,使B1F平面A1BE.事实上

3、,如图(b)所示,分别取C1D1和CD的中点F,G,连接B1F,EG,BG,CD1,FG.因A1D1B1C1BC,且A1D1BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形,因此D1CA1B.又E,G分别为D1D,CD的中点,所以EGD1C,从而EGA1B.这说明A1,B,G,E四点共面所以BG平面A1BE.(8分)因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形,F,G分别为C1D1和CD的中点,所以FGC1CB1B,且FGC1CB1B,因此四边形B1BGF是平行四边形,所以B1FBG,(10分)而B1F平面A1BE,BG平面A1BE,故B1F平面A1BE.(12分)3如图,四棱锥PABCD中,PD平面

4、ABCD,底面ABCD为矩形,PDDC4,AD2,E为PC的中点(1)求三棱锥APDE的体积;(2)AC边上是否存在一点M,使得PA平面EDM?假设存在,求出AM的长;假设不存在,请说明理由解析:(1)PD平面ABCD,PDAD.又ABCD是矩形,ADCD.PDCDD,AD平面PCD,AD是三棱锥APDE的高E为PC的中点,且PDDC4,SPDESPDC4.又AD2,VAPDEADSPDE24.(2)取AC中点M,连接EM,DM,E为PC的中点,M是AC的中点,EMPA.又EM平面EDM,PA平面EDM,PA平面EDM.AMAC.即在AC边上存在一点M,使得PA平面EDM,AM的长为.4.如下

5、图,在三棱锥P ABC中,点D,E分别为PB,BC的中点在线段AC上是否存在点F,使得AD平面PEF?假设存在,求出的值;假设不存在,请说明理由解:假设在AC上存在点F,使得AD平面PEF,连接DC交PE于G,连接FG,如下图AD平面PEF,平面ADC平面PEFFG,ADFG.又点D,E分别为PB,BC的中点,G为PBC的重心,.故在线段AC上存在点F,使得AD平面PEF,且.52016卷 如图,在四棱锥P ABCD中,PC平面ABCD,ABDC,DCAC.(1)求证:DC平面PAC.(2)求证:平面PAB平面PAC.(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA平面CEF?说明理

6、由解:(1)证明:因为PC平面ABCD,所以PCDC.又因为DCAC,所以DC平面PAC.(2)证明:因为ABDC,DCAC,所以ABAC.因为PC平面ABCD,所以PCAB,所以AB平面PAC,所以平面PAB平面PAC.(3)棱PB上存在点F,使得PA平面CEF.证明如下:取PB的中点F,连接EF,CE,CF.因为E为AB的中点,所以EFPA.又因为PA平面CEF,所以PA平面CEF.62016卷 如图,在四棱锥P ABCD中,PACD,ADBC,ADCPAB90,BCCDAD.(1)在平面PAD找一点M,使得直线CM平面PAB,并说明理由;(2)证明:平面PAB平面PBD.解:(1)取棱A

7、D的中点M(M平面PAD),点M即为所求的一个点理由如下:因为ADBC,BCAD,所以BCAM,且BCAM,所以四边形AMCB是平行四边形,从而CMAB.又AB平面PAB,CM平面PAB,所以CM平面PAB.(说明:取棱PD的中点N,那么所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)证明:由,PAAB,PACD.因为ADBC,BCAD,所以直线AB与CD相交,所以PA平面ABCD,从而PABD.因为ADBC,BCAD,所以BCMD,且BCMD,所以四边形BCDM是平行四边形,所以BMCDAD,所以BDAB.又ABAPA,所以BD平面PAB.又BD平面PBD,所以平面PAB平面PBD.7. 2016模

8、拟 如图74110,在四棱锥PABCD中,BCAD,BC1,AD3,ACCD,且平面PCD平面ABCD.(1)求证:ACPD.(2)在线段PA上是否存在点E,使BE平面PCD?假设存在,求出的值;假设不存在,请说明理由解:(1)证明:平面PCD平面ABCD,平面PCD平面ABCDCD,ACCD,AC平面ABCD,AC平面PCD,PD平面PCD,ACPD.(2)在线段PA上存在点E,使BE平面PCD,且.下面给出证明:AD3,BC1,在PAD中,分别取PA,PD靠近点P的三等分点E,F,连接EF,BE,CF.,EFAD,且EFAD1.又BCAD,BCEF,且BCEF,四边形BCFE是平行四边形,

9、BECF,又BE平面PCD,CF平面PCD,BE平面PCD.8(10分)2016中原名校联考 如下图,在四棱锥S ABCD中,平面SAD平面ABCD,ABDC,SAD是等边三角形,且SD2,BD2,AB2CD4.(1)证明:平面SBD平面SAD. (2)假设E是SC上的一点,当E点位于线段SC上什么位置时,SA平面EBD?请证明你的结论(3)求四棱锥SABCD的体积解:(1)证明:SAD是等边三角形,ADSD2,又BD2,AB4,AD2BD2AB2,BDAD,又平面SAD平面ABCD,平面SAD平面ABCDAD.BD平面SAD.又BD平面SBD,平面SBD平面SAD.(2)当E为SC的三等分点

10、,即ES2CE时,结论成立证明如下:连接AC交BD于点H,连接EH.CDAB,CDAB,HESA. 又SA平面EBD,HE平面EBD,SA平面EBD.(3)过S作SOAD,交AD于点O.SAD为等边三角形,O为AD的中点,SO.易证得SO平面ABCD,V四棱锥S ABCDS梯形ABCDSO. S梯形ABCD(24)3,V四棱锥S ABCD3.二、探索垂直关系1如下图,在三棱锥P ABC中,PA底面ABC,ABBC,E,F分别是线段PB,PC上的动点,那么以下说法错误的选项是()A当AEPB时,AEF一定为直角三角形B当AFPC时,AEF一定为直角三角形C当EF平面ABC时,AEF一定为直角三角

11、形D当PC平面AEF时,AEF一定为直角三角形答案:B解析 PA底面ABC,那么PABC,又ABBC,PAABA,那么BC平面PAB,BCAE.当AEPB时,又PBBCB,那么AE平面PBC,那么AEEF,A正确当EF平面ABC时,又EF平面PBC,平面PBC平面ABCBC,那么EFBC,故EF平面PAB,那么AEEF,故C正确当PC平面AEF时,PCAE,又BCAE,PCBCC,那么AE平面PBC,那么AEEF,故D正确用排除法可知选B.2如下图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱AA1底面ABC,底面是以ABC为直角的等腰直角三角形,AC2a,BB13a,D是A1C1的中点,点F在线段AA

12、1上,当AF_时,CF平面B1DF.答案:a或2a解析 由题意易知,B1D平面ACC1A1,所以B1DCF.要使CF平面B1DF,只需CFDF即可当CFDF时,设AFx,那么A1F3ax.由RtCAFRtFA1D,得,即,整理得x23ax2a20,解得xa或x2a.3如下图,PA圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上的一点,E,F分别是点A在PB,PC上的正投影,给出以下结论:AFPB;EFPB;AFBC;AE平面PBC.其中正确结论的序号是_答案:解析 由题意知PA平面ABC,PABC.又ACBC,PAACA,BC平面PAC,BCAF.AFPC,BCPCC,AF平面PBC,AFPB,A

13、FBC.又AEPB,AEAFA,PB平面AEF,PBEF.故正确4.如下图,长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD为正方形,E为线段AD1的中点,F为线段BD1的中点.(1)求证:EF平面ABCD;(2)设M为线段C1C的中点,当的比值为多少时,DF平面D1MB?并说明理由解析:(1)证明:E为线段AD1的中点,F为线段BD1的中点,EFAB.EF平面ABCD,AB平面ABCD,EF平面ABCD.(2)当时,DF平面D1MB.ABCD是正方形,ACBD.D1D平面ABC,D1DAC.AC平面BB1D1D,ACDF.F,M分别是BD1,CC1的中点,FMAC.DFFM.D1DAD,D1DBD.矩形D1DBB1为正方形F为BD1的中点,DFBD1.FMBD1F,DF平面D1MB.5.如图(1),在RtABC中,C90,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点,将ADE沿DE折起到A1DE的位置,使A1FCD,如图(2)

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