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1、数学分析分层教学改革方案第一章 实数集与函数1 实数(一) 教学目的：掌握实数的基本概念和最常见的不等式，以备以后各章应用(二) 教学内容：实数的基本性质和绝对值的不等式(1) 基本要求：实数的有序性，稠密性，阿基米德性(2) 较高要求：实数的四则运算(三) 教学建议：(1) 本节主要复习中学的有关实数的知识(2) 讲清用无限小数统一表示实数的意义以及引入不足近似值与过剩近似值的作用2 数集.确界原理(一) 教学目的：掌握实数的区间与邻域概念，掌握集合的有界性和确界概念(二) 教学内容：实数的区间与邻域；集合的上下界，上确界和下确界；确界原理(1) 基本要求：掌握实数的区间与邻域概念；分清最大
2、值与上确界的联系与区别；结合具体集合，能指出其确界；能用一种方式，证明集合的上确界为即： 且 ； 或 且 (2) 较高要求：掌握确界原理的证明，并用确界原理认识实数的完备性(三) 教学建议：(1) 此节重点是确界概念和确界原理不可强行要求一步到位，对多数学生可只布置证明具体集合的确界的习题(2) 此节难点亦是确界概念和确界原理对较好学生可布置证明抽象集合的确界的习题3 函数概念 (一) 教学目的：掌握函数概念和不同的表示方法(二) 教学内容：函数的定义与表示法；复合函数与反函数；初等函数(1) 基本要求：掌握函数的定义与表示法；理解复合函数与反函数；懂得初等函数的定义，认识狄利克莱函数和黎曼函
3、数(2) 较高要求：函数是一种关系或映射的进一步的认识(三) 教学建议： 通过狄利克莱函数和黎曼函数，使学生对函数的认识从具体上升到抽象4 具有某些特性的函数(一) 教学目的：掌握函数的有界性，单调性，奇偶性和周期性(二) 教学内容：有界函数，单调函数，奇函数，偶函数和周期函数(三) 教学建议：(1) 本节的重点是通过对函数的有界性的分析，培养学生了解研究抽象函数性质的方法(2) 本节的难点是要求用分析的方法定义函数的无界性对较好学生可初步教会他们用分析语言表述否命题的方法第二章 数列极限1 数列极限概念(一) 教学目的：掌握数列极限概念，学会证明数列极限的基本方法(二) 教学内容：数列极限(
4、1) 基本要求：理解数列极限的分析定义，学会证明数列极限的基本方法，懂得数列极限的分析定义中与的关系(2) 较高要求：学会若干种用数列极限的分析定义证明极限的特殊技巧(三)教学建议：(1) 本节的重点是数列极限的分析定义，要强调这一定义在分析中的重要性具体教学中先教会他们证明；(，然后教会他们用这些无穷小量来控制有关的变量（适当放大但仍小于这些无穷小量）(2) 本节的难点仍是数列极限的分析定义对较好学生可要求他们用数列极限的分析定义证明较复杂的数列极限，还可要求他们深入理解数列极限的分析定义2 数列极限的性质(一) 教学目的：掌握数列极限的主要性质，学会利用数列极限的性质求数列的极限(二) 教
5、学内容：数列极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则和数列的子列及有关子列的定理(1) 基本要求：理解数列极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则，并会用其中某些性质计算具体的数列的极限(2) 较高要求：掌握这些性质的较难的证明方法，以及证明抽象形式的数列极限的方法(三) 教学建议：(1) 本节的重点是数列极限的性质的证明与运用可对多数学生重点讲解其中几个性质的证明，多布置利用这些性质求具体数列极限的习题(2) 本节的难点是数列极限性质的分析证明对较好的学生，要求能够掌握这些性质的证明方法，并且会用这些性质计算较复杂的数列极限，例如：，等3 数列极限
6、存在的条件(一) 教学目的：掌握单调有界定理，理解柯西收敛准则(二) 教学内容：单调有界定理，柯西收敛准则(1) 基本要求：掌握单调有界定理的证明，会用单调有界定理证明数列极限的存在性，其中包括存在的证明理解柯西收敛准则的直观意义(2) 较高要求：会用单调有界定理证明数列极限的存在性，会用柯西收敛准则判别抽象数列（极限）的敛散性 (三) 教学建议： (1) 本节的重点是数列单调有界定理对多数学生要求会用单调有界定理证明数列极限的存在性(2) 本节的难点是柯西收敛准则要求较好学生能够用柯西收敛准则判别数列的敛散性第三章函数极限1 函数极限概念(一) 教学目的：掌握各种函数极限的分析定义，能够用分
7、析定义证明和计算函数的极限(二) 教学内容：各种函数极限的分析定义 基本要求：掌握当；时函数极限的分析定义，并且会用函数极限的分析定义证明和计算较简单的函数极限(三) 教学建议： 本节的重点是各种函数极限的分析定义对多数学生要求主要掌握当时函数极限的分析 定义，并用函数极限的分析定义求函数的极限 2 函数极限的性质(一) 教学目的：掌握函数极限的性质(二) 教学内容：函数极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则(1) 基本要求：掌握函数极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则，并会用这些性质计算函数的极限(2) 较高要求：理解函数极限的局部性质，并对
8、这些局部性质作进一步的理论性的认识(三) 教学建议：(1) 本节的重点是函数极限的各种性质由于这些性质类似于数列极限中相应的性质，可着重强调其中某些性质与数列极限的相应性质的区别和联系 (2) 本节的难点是函数极限的局部性质对较好学生，要求懂得这些局部的（的大小）不仅与有关，而且与点有关，为以后讲解函数的一致连续性作准备3 函数极限存在的条件(一) 教学目的：掌握函数极限的归结原理和函数极限的单调有界定理，理解函数极限的柯西准则(二) 教学内容：函数极限的归结；函数极限的单调有界定理；函数极限的柯西准则(1) 基本要求：掌握函数极限的归结，理解函数极限的柯西准则(2) 较高要求：能够写出各种函
9、数极限的归结原理和柯西准则(三) 教学建议： (1) 本节的重点是函数极限的归结原理要着重强调归结原理中数列的任意性(2) 本节的难点是函数极限的柯西准则要求较好学生能够熟练地写出和运用各种函数极限的归结原理和柯西准则4两个重要的极限(一) 教学目的：掌握两个重要极限： ；(二) 教学内容：两个重要极限：； (1) 基本要求：掌握的证明方法，利用两个重要极限计算函数极限与数列极限(2) 较高要求：掌握证明方法 (三) 教学建议： (1) 本节的重点是与两个重要的函数极限有关的计算与证明可用方法： ； ，其中、分别为任一趋于0或趋于的函数(2) 本节的难点是利用迫敛性证明5 无穷小量与无穷大量(
10、一) 教学目的：掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念(二) 教学内容：无穷小量与无穷大量，高阶无穷小，同阶无穷小，等阶无穷小，无穷大(1) 基本要求：掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念(2) 较高要求：能够写出无穷小量与无穷大量的分析定义，并用分析定义证明无穷小量与无穷大量在计算及证明中，熟练使用“”与“”(三) 教学建议： (1) 本节的重点是无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念(2) 本节的难点是熟练使用“”与“”进行运算第四章 函数的连续性1 连续性概念(一) 教学目的：掌握函数连续性概念(二) 教学内容：函数在一点和在区间上连续的定义，间断点的分类(1) 基本要求：掌握
11、函数连续性概念，可去间断点，跳跃间断点，第二类间断点，区间上的连续函数的定义(2) 较高要求：讨论黎曼函数的连续性(三) 教学建议：(1) 函数连续性概念是本节的重点对学生要求懂得函数在一点和在区间上连续的定义，间断点的分类(2) 本节的难点是用较高的分析方法、技巧证明函数的连续性，可在此节中对较好学生布置有关习题2 连续函数的性质(一) 教学目的：掌握连续函数的局部性质和闭区间上连续函数的整体性质(二) 教学内容：连续函数的局部保号性，局部有界性，四则运算；闭区间上连续函数的最大最小值定理，有界性定理，介值性定理，反函数的连续性，一致连续性(1) 基本要求：掌握函数局部性质概念，可去间断点，
12、跳跃间断点，第二类间断点；了解闭区间上连续函数的性质(2) 较高要求：对一致连续性的深入理解(三)教学建议：(1) 函数连续性概念是本节的重点要求学生掌握函数在一点和在区间上连续的定义，间断点的分类，了解连续函数的整体性质对一致连续性作出几何上的解释(2) 本节的难点是连续函数的整体性质，尤其是一致连续性和非一致连续性的特征可在此节中对较好学生布置判别函数一致连续性的习题3 初等函数的连续性(一) 教学目的：了解指数函数的定义，掌握初等函数的连续性(二) 教学内容：指数函数的定义；初等函数的连续性(1) 基本要求：掌握初等函数的连续性(2) 较高要求：掌握指数函数的严格定义(三)教学建议： (
13、1) 本节的重点是初等函数的连续性要求学生会用初等函数的连续性计算极限(2) 本节的难点是理解和掌握指数函数的性质第五章导数和微分1 导数的概念(一) 教学目的：掌握导数的概念，了解费马定理、达布定理(二) 教学内容：函数的导数，函数的左导数，右导数，有限增量公式，导函数(1) 基本要求：掌握函数在一点处的导数是差商的极限了解导数的几何意义，理解费马定理(2) 较高要求：理解达布定理(三) 教学建议： (1) 本节的重点是导数的定义和导数的几何意义会用定义计算函数在一点处的导数(2) 本节的难点是达布定理对较好学生可布置运用达布定理的习题2 求导法则(一) 教学目的：熟练掌握求导法则和熟记基本
14、初等函数的求导公式(二) 教学内容：导数的四则运算，反函数求导，复合函数的求导，基本初等函数的求导公式 基本要求：熟练掌握求导法则和熟记基本初等函数的求导公式(三) 教学建议： 求导法则的掌握和运用对以后的学习至关重要，要安排专门时间督促和检查学生学习情况3 参变量函数的导数(一) 教学目的：掌握参变量函数的导数的求导法则(二) 教学内容：参变量函数的导数的求导法则 基本要求：熟练掌握参变量函数的导数的求导法则(三) 教学建议： 通过足量习题使学生掌握参变量函数的导数的求导法则 4高阶导数(一) 教学目的：掌握高阶导数的概念，了解求高阶导数的莱布尼茨公式(二) 教学内容：高阶导数；求高阶导数的莱布尼茨公式(1) 基本要求：掌握高阶导数的定义，能够计算给定函数的高阶导数(2) 较高要求：掌握并理解参变量函数的二阶导数的求导公式(三) 教学建议： (1) 本节的重点是高阶导数的概念和计算要求学生熟练掌握(2) 本节的难点是高阶导数的莱布尼茨公式，特别是参变量函数的二阶导数要强调对参变量求导与对自变量求导的区别可要求较好学生掌握求参变量函数的二阶导数5 微分(一) 教学目的：掌握微分的概念和微分的运算方法，了解高阶微分和微分
