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1、第四章 频率特性分析4.1 什么是频率特性？解 对于线性定常系统，若输入为谐波函数，则其稳态输出一定是 同频率的谐波函数，将输出的幅值与输入的幅值之比定义为系统的幅 频特性；将输出的相位于输入的相位之差定义为系统的相频特性。将 系统的幅频特性和相频特性统称为系统的频率特性。4.2 什么叫机械系统的动柔度，动刚度和静刚度？解 若机械系统的输入为力，输出为位移（变形），则机械系统的频 率特性就是机械系统的动柔度；机械系统的频率特性的倒数就是机械 系统的动刚度；当w二0时，系统频率特性的倒数为系统的静刚度。4.3已知机械系统在输入力作用下变形的传递函数为 （mm/kg）,s + 1求系统的动刚度，动
2、柔度和静刚度。解 根据动刚度和动柔度的定义有动柔度动刚度静刚度九(jw)= G (jw)=G (s )s = jw =jw +11K 伽=G (jw)w = 0 =G(jw)2jw +1kg/mmmm/kg響 |w = 0 =。5 kg/mm4.4若系统输入为不同频率w的正弦函数Asinwt，其稳态输出相应为Bsin（wt+申）.求该系统的频率特性。解：由频率特性的定义有G（jw）B二 e jwA e4.5已知系统的单位阶跃响应为x（t）=1-1.8e-4t +0.8e-9t，试求系。统的幅辐频特性与相频特性。解:先求系统的传递函数，由已知条件有x（t）=1-1.8e-4t +0.8e-9。（
3、t、0）1X(S)=i S1(S)= -1.8s11X（。 S）X（S）36(s + 4 )(s + 9)G (jw)= G(s)L36(4 + jw)(9 + jw)(w)二G (jW)二36、16 + w2 81 + w2w)=0-arctanwwww-arctan 二一arctan -arctan耳9494.6由质量、弹簧、阻尼器组成的机械系统如图所示。已知，m = 1kg， k为弹簧的刚度，C为阻尼系统。若外力f （t）= 2sin2tN，由实际得到系 统稳态响应为 x = sinf 2t -仝，oss （ 2 丿试确定 k 和 c。解由系统结构图可知，系统的动力学方程为mx C)+
4、cx (t)+ kx C)= f (t)ooo则系统的传递函数为G(s)= ms 2 + cs + km=1)即，其频率特性为G (j)二k 2 + jc其中，幅频特性为G 卜：（其中相频特性为ZG ()= - arctan由题意有，当二2时,(c )arctan j k 2 丿解得 k 二 4,c 二 14.7试求下列系统的幅频、相频、实频和虚频特性a（）、血）、u （J、u()。 G(s)= 307+i G(s)=1s(0.1s +1)解 依频率特性定义有g（j ）= G（s）s=j其中，幅频、相频、实频和虚频特性分别为A()= |G(j)，申6)= ZG (j)，u (j)=ReP (j
5、)，u()= Imb (j)则（1）中G (j)=51 + j 30aCd)=5900 2 +1-arctan 306)=5900 2 +1u6)=150900 2 +12)中1 _ 1 j(1 + j 0.1)- 0.1 2 + j申()= -90 - arctan 0.1A()= : 0.01 2 +1()=0.10.01 2 +1u()=10.01 3 +4.8系统的闭环传递函数为幺)=壬,当作用输入信号二(t) = Rsinwt时，试求该系统的稳态输出。解：系统频率特性为：L_ (jw)=.=K .：三：二 _1=.： ：7 = ：L 1：E1+T1W yj l+-WZTt 由x斶(t
6、) =Xt 怙E (j/| sinwt+尙(网有系统的稳态输出为：(t)=RK；sin (=；+=)4.9设单位反馈控制系统的开环传递函数为?, (j)二二,当系统作用 以下输入信号：(1) .兔(t)=sin(t+30)(2) 二(t)=2cos(21-45)(3) ,. (t)二 sin(t+30)- 2cos(21-45)解：系统的闭环传递函数为匚(s)=二贝(jw)=一： _：-宴：泳：二(1) 因为 w=l；所以 (jw)=w(t) =sin (t + 305.2) =0.90sin (t+24.8)05511Z2(2) 因为w=2；所以 :-(jw)=丄 十-：；rBV1Z5(t)
7、 =2X.=1.79cos (2t-55.3)n55i125、z(3) 有叠加原理有:二曲(t)=二(t)+二工(t) =0.905sin (t+24.8)1.79cos(2t-55.3)4-10设系统的传递函数为厶，式中，时间常数T=05秒，放大Ts +1系数K=10。求在频率f=1Hz,幅值R=10的正弦输入信号作用下， 系统稳态输出x (t)的幅值与相位。解：根据定义与已知有T 二 0.5 _10K 二 10 _ 1 + j0.5G 3)二K T 二 0.5jT +1 K = 10101 + j 0.5=3.06X e j(-72.5。)二 6.3-咒(t) = 10X3.06sin(6
8、.3t 72.5。)= 30.6sin(6.3t-72.5。)o故X (t)的幅值与相位分别为30.6和-72.5o4-11知系统传递函数方框图如图(题 4.11)所示，现作用于系统输入信号Z (t) = sin2t，试求系统的稳态输出。系统的传递i函数如下：(1)G (s)=丄，H (s) =1;s + 1(2) G (s) =5，H (s) =1;s(3) G(s)=丄，H(s) =2。s + 1图(题4.11)解：因为 Z (t) = sin2ti则输入的幅值为X =1，输入的频率为 = 2i对于(1)B( s) = 1 + G (s) H (s)G ( j ) =B56 + je-ar
9、ctan 65 e-ji8.4。 = 2 J 40X (t) = x |G(j)|sin(t + ZG(j) 0.79 sin(2t -18.4。) oi对于( 2)G (j =B5e_arctan 5 幺_ j 21-8V25 + 25 229咒(t) = X |G( jw)|sin(t + ZG( j)0.93sin(2t _ 21.8) oi对于（3）G (s) BG (s)1 + G (s) H (s)5s +11G ( j ) B511 + j5e_arctan 5e_j10.3v121 + 2 2J125i.咒(t) = X |G( j)|sin(t + ZG( j) 5 sin(
10、2t 10.3)o i54-12求出下列函数的Nyquist曲线(1)系统频率特性1 10.01* jG(j )=-_u ) 1 + 0.01 2 1 + 000012 1 + 0.0001 21其中，1 G(J) 1 =!1 + 0.0001 2VZG(J )=arctan0.01 1 0.01* u( )=v( )=- ()1 + 0.00012( ) 1 + 0.0001 2因此，u、v满足关系11(u- 2)2 +v2=()又因为u0、v 0,系统频率特性的Nyquist曲线为一个位于第四 象限的半圆。其Nyquist图如图（题4.12 （1）（2）系统频率特性G(j )=11 - 0
11、.01jo0.01 j1 + 0.00013 2+1 + 0.00013 2其中，I G(j3) | =1A + 0.000132ZG(j3 )= arctan0.013u(31)=)1 + 0.000132v(3)=0 0131 + 0.000132因此，u、v 满足关系(u-1/2) 2 +v 2 = (1/2) 2又因为u0、v0,系统频率特性的Nyquist曲线为一个位于第一象限的半圆。其Nyquist图如图(题4.12 (2)(3)系统频率特性G(j3)=1-1 + 0.01 j3100131 + 0.0001321 + 0.0001321其中，G)11 + 0.000132ZG(J
12、3 )=兀arctan0.013u(3 )=1 + 0.000132v(3 )=0 0131 + 0.000132因此，u、V满足关系(u-丄)2 +v 2 = ( 1 ) 22 2又因为u0、v0系统频率特性的Nyquist曲线为一个位于第三象限 的半圆。其Nyquist图如图(题4.12 (3)1系统频率特性G(J3)=(! + 0.01J3)*J30.11 + 0.01 J3其中，11 G)1 - 3+ 0.000132兀ZG(J3 )= 一 一 一arctan0.1w2当w=0时，1 G(J3) 1=8兀ZG(J3 )= - 2u(3 )=一0.1v(3 )=一8当w=10时，I G(
13、J3) 1=0.07073“ZG (J3 )=2u(3 )=一0.05v(3 )=一0.05当弋二8时，IG(J3)I=0ZG (J3 )=一180 0u(3)=0v(3 )= 0u(3v(3其 Nyquist 图如图(题 4.12 (4)0.1U0U3)=一 1 + 0.013 21其特性曲线为G(jo )= + 0.ij gio 21 一 0.012 一 0.1 jo一 0.01 o 2/ + 0.01 2I G(j) |= 一 0.01 o 2 + 0.01 o 2ZG (jo )=昨牖- 001o 2丿u(o )=0.01 2/ + 0.01 20.1V()_ 1 - 0.012 2 + 0.012其中，当3 =0 时，丨 G(j) |=1Z
