第十章 平面向量§10.1 向量及其线性运算一、向量1.向量的概念 既有大小又有方向的量叫向量2.向量的几何表示 常用有向线段表示向量，在符号上可用小写黑体单字母、、等 ；大写黑体单字母A、B、C等，带箭头的双字母，带点单字母、、等表示零向量表示为3.向量的模与夹角 (1)向量的模 向量的大小叫做向量的模，记作、等模为零的向量是零向量，模为1的向量叫单位向量 (2)向量相等 模相等,方向相同的向量叫相等向量,是相等向量记为 长度相等、方向相同的有向线段，无论起点是否相同，都是相等向量 (3)向量的夹角 将或平移,使它们的起点重合,它们的方向间的夹角叫的夹角,记为 (4)向量共线 如果向量的夹角等于0或，叫向量共线，记为零向量与任何向量共线，如等 共线向量的有向线段所在的直线可以重合，也可以平行二、向量的线性运算向量的加减应遵循平行四边形法则1.向量的加法 向量之和是以这两向量作两边的平行四边形的对角线向量，也就是:将向量的起点移至向量的终点，再从向量的起点向向量的终点引向量，.2.向量的减法 向量减去向量等于向量加上的反向量，即与向量模相等而方向相反的向量叫的反向量。
或者说从的终点向量的终点引出的向量为3.数乘向量 实数与向量的乘积是一个向量，记作，它的模是当时，与方向相同；当时，与方向相反数乘向量的运算法则是：(1), (2) (3) (4) 2.向量共线的充要条件 非零向量共线的充要条件是存在实数,使得例[P.132例1.(1) 1.] 已知，，，求的D点坐标.解 ，故D点坐标为（见上图）.例 向量的模，方向60º向量的模，方向0º，求和解 的模是 的方向是 的模是 的方向是 三、平面向量的分解定理如果，是同一平面内两个不共线的非0向量，那么这个平面内的任一向量,有且只有一对实数、，称为表示这一平面内所有向量的基底． 这就表明：平面内任一向量都可以用两个不共线的向量来表示．§10.2 向量的坐标运算和数量积一、平面向量的坐标运算1.平面向量的坐标在直角坐标系中,设向量的起点在坐标原点,终点A的坐标为,与轴和轴正方向相同的单位向量分别为,则由平面向量的分解定理,向量可以表示为， 记为. 称为向量坐标,,分别是向量的坐标,坐标. 若向量的起点不在坐标原点，起点的坐标，终点的坐标，则向量表示为： 或 或 2.数量积的定义 设、b是两个非0向量,它们的夹角为,则与b的数量积(也叫内积)为：数量积的几何意义是 数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积数量积的运算法则 (1) (2) (3)3.向量的坐标运算设向量，(1)加法运算 (2)减法运算 (3)数乘运算 (4)内积运算 (5)共线向量 ,的充要条件是（向量共线的充要条件是矢量积为零，也即对应坐标成比例）(6)垂直向量 ，的充要条件是（向量垂直的充要条件是数量积为零，也即对应坐标之积为0）(7)向量的模 ，则向量可用直角坐标系中的向量表示，=，例 已知,求,,.解 例 求过点N且垂直于向量的直线方程解 在所求直线上任取一点(M不与N重合)，则，，即 所求直线方程为例 求过点N且平行于向量的直线方程解 在所求直线上任取一点(M不与N重合)，则，因，故 所求直线方程为:, 例 已知向量，向量与方向相反，并且，则等于。
解 设，因向量与方向相反（一种平行），故，即， 将①与②组成方程组： ，解得：，故也可这样简单分析求解：因，，是的二倍，与方向相反，故二、距离公式、中点公式和平移公式1.距离公式 2.中点公式 3.平移公式 (1)平移 把平面内图形上的每一点按照同一方向移动相同的长度(即按向量平移),得到图形,我们把这一过程叫做图形G的平移.(2)平移公式 设是图形G上的任意一点，与它对应的向量，把它按向量平移后，在图形上的对应点为，这时，，由图得用坐标表示为: , 由此得上面公式表示图形中的每一点按向量平移后,新坐标为.例 若点按平移的坐标为；求的坐标； 若点按平移至,求解 故的坐标为(-6,13)； 设,则，，故【练习】（1） 已知，，求的A点坐标. （2）如果向量，，求第十一章 直线§11.1 直线直线是在平面或空间沿着一定方向和其相反方向运动的点的轨迹. 直线沒有粗细、沒有端点、沒有方向性、具有无限的長度、具有确定的位置.一、直线的倾角和和斜率1.直线的倾角 一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾角,如图12.2中的,显然, 的的取值范围是.2.直线的斜率 当直线的倾角不是90º时,直线的斜率是直线倾角的正切,常用表示,即3.过两点的直线斜率公式 过两点,的直线的斜率公式为: 4.直线的截距 在平面直角坐标系中,直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距(或称纵截距), ,直线与轴的交点的横坐标叫做直线在轴上的截距(或称横截距).二者统称为直线的截距.如图12.1中直线在轴上的截距为,直线在轴上的截距为.二、直线方程（一）直线方程的几种形式1.点斜式 ，如斜率为,过点(1,4)的直线方程为2.斜截式 , 如斜率为,轴上的截距为6的直线方程为3.二點式 ，如. 4.截距式 ()，（从上图得，，）如过点（0，–3）、（5，0）的直线方程为5.一般形式 ，如6..参数式 .是直线上的一个点，直线的斜率是7.法线式 cosθ+sinθ-= 0. 其中p为原点到直线的距离，θ为法线与轴正方向的夹角8.向量式（二）特殊位置的直线方程 ,,,例 求下列直线方程（1）过点，斜率为；（2）横截距为5，纵截距库为4；（3）过点解（1）， （2）， （3），§11.2 点、直线间的关系设两条直线的方程为和点分别为；（一）两条直线平行 直线平行的充要条件是倾角相同或斜率相等,表为例 求过点(0,1)且与直线的平行的直线方程.解 过点(0,1)且与直线的平行的直线方程的直线方程的斜率为,由直线的点斜式方程得过点(0,1)且与直线的平行的直线方程为:,即.直线重合的充要条件是倾角相同与纵截距相等,表为（二）两条直线垂直直线垂直的充要条件是斜率互为负倒数,表为或 例[P117例5(2)] 已知,,求线段MN的垂直平分线方程解法一 ，解得：解法二 线段所在直线的斜率是，故线段的垂直平分线的斜率是1，线段的垂直平分线经过线段的中点，线段的中点的坐标是，即，故由点斜式方程得线段的垂直平分线方程为：，即.例 求点关于直线:的对称点的坐标.解 直线的斜率为,直线的斜率为,,. .(图12.3),得:,点的坐标为:（三）夹角把按逆逆时针方向旋转到与重合时所转的角叫做到的角, 把按逆逆时针方向旋转到与重合时所转的角叫做到的角. 到的角与到的角中小于或等于90º的正角叫与的夹角., 因为,所以必须,故若与的夹角为90º,则.例 求(1)与的夹角,(2) 与的夹角解 (1)，， (2)，，（四）点到直线的距离、两平行间的距离点到直线的距离为:.(A、B不同时为0或都不为0)；两平行直线(:；:)间的距离：例 求点P(-1，2)分别到(1)2x+y-10=0，(2)3x=2的距离．(3) 求2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离.解：(1)根据点到直线的距离公式，得(2)直线3x=2即,(3) 例 求直线关于点对称的直线的方程. 解 方法一：由于直线与直线平行，故设直线方程为。
因点P到两直线的距离相等，故：，解得：，（不合题意，舍去）故所求直线的方程为方法二： 设直线 上任一点的坐标为，它在直线上的对称点的坐标为，则 ，，由此解得，因点在直线上，故，即 所以，所求直线的方程为 第十二章 圆锥曲线§12.1 曲线与方程、圆一、 曲线和方程的关系 一曲线上的点的坐标都是一个二元方程的解,而二元方程的解为坐标的点都在曲线上,则称方程为曲线的方程.如与坐标原点距离为5的点的集合是一个圆心在原点半径为5的圆,而满足方程的所有都在圆心在原点半径为5的圆上,所以方程是圆心在原点半径为5的圆的方程.二、曲线的交点 设两曲线的方程分别为,如果有交点,那么交点的坐标就是的一组实数解, 有多少个实数解, 就有多少个交点；若没有实数解,就没有交点.如与的解是和,因此它们的的交点是和.三、圆（一）定义 平面内与定点距离等于定长的点的轨迹是圆，定点是圆心，定长是半径如方程是圆心在原点，半径为5的圆的圆的方程.（二）、圆的方程 1. 圆的标准方程圆心为，半径为的圆的标准方程为：如与分别表示圆心坐标为和，半径为5的圆的标准方程例 求过点与点，圆心在轴上的圆的标准方程解 线段的中点的坐标是 ,线段所在的直线的斜率是与垂直的直线的斜率是的方程是:, 所求圆的圆心为轴与的交点,即,该点与点的距离的平方为,所以,所求圆的方程为2.圆的一般方程圆的一般方程是个二元二次方程：其特征是的系数相同,不等于0，没有项,而且，用配方法可把圆的一般方程化为标准方程此时的圆是以为圆心,以为半径的圆例 将圆的一般方程化化为标准方程解 （三）圆的确定确定圆的标准方程的三个参数是, 确定圆的一般方程的三个参数是 （四）圆与直线的关系设是圆上的任意一点,过点P的切线垂直于OP，由于OP的斜率,为故点的切线的斜率是,由直线的点斜式方程可知过点的切线方程为化简，并注意是圆上的一点，可得: 这就是过圆上一点的切线方程例 求过圆上点的切线方程解 由所求圆的切线方程是:,即例 判断直线与圆的位置关系解 由得：，将代入得 所以，直线与圆有一交点，故直线与圆相切。
说明：①直线方程与圆方程联解有两个相同的解，则直线与圆相切； ②直线方程与圆方程联解有两个不同的解，则直线与圆相交；③直线方程与圆方程联解无解，则直线与圆相离。