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1、2019考研数学线性代数 二次型（一）来源：文都教育一、背景知识在解析几何中，较为一般的二次曲线如图（1），但此时其中心和坐标原点是不重合的.而当其中心与坐标原点重合时（图2），该有心二次曲线的一般方程为ax 22bxycy 21.图1图2没有一次项的图形（具有轮换对称性），其中心和坐标原点重合.但是，图2 所示的图形是“歪”的，为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们需要旋转该图形，将它“正”过来 .xx cosy sinny 21. 由此图形就将对 x, y 做（旋转）变换：x sin，可得 mx2yy cos变成图 3（图 4） .图3图4上面例子只有x, y 两个变量，推广到多元就是二
2、次型.而这个将 “歪 ”“掰正 ”的过程就是将二次型化为标准型（全是平方项）的过程.二、二次型1.二次型的概念（1）含有 n 个变量 x1, x2 , xn 的二次齐次函数f ( x1, x2 , , xn )a11x12ann xn22a12 x1 x22an 1,n xn 1xnnn 1aii xi22 aij xi x ji 1i 1i j称为 n 元二次型，其中aij为实数时称为实二次型 .（2）只含平方项的二次型fk1 y12k2 y22kn yn2称为标准形 .在实际操作中，我们借用矩阵来表示二次型.（3）若标准型的系数只能为1,1,0 ，称 f2222.y1+ypyp 1yr 为
3、二次型的规范型2.二次型的矩阵表示若令( ij )n nTTTA，x ( x1, x2 , , xn )，其中ajiaij ，即A A，则fx Ax，Aa称为二次型的矩阵，A 的秩 r ( A) 称为二次型的秩 .如 x 2xy y 21可以写成 xy10.5x1，或者简记为 xT Ax=10.51y其中 xx， A10.5y0.5.1注意 ：矩阵必须为对称矩阵 .3.矩阵表示的好处除了看起来更加简洁和直观，更重要的是使其标准化的变得更加简单.下次我们主要会详述二次型化为标准型的两个方法：配方法、正交变换法.二次型不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、科学技术和经济管理中的很多问题都可以转为二次型.线代作为一门数学工具，在二次型的研究中也发挥了很好的作用.在此希望能对2019 考生的复习有所帮助 .最后，预祝各位考生考研成功！
