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1、第五章 弹性力学的求解措施和一般性原理知识点弹性力学基本方程边界条件位移表达的平衡微分方程应力解法体力为常量时的变形协调方程物理量的性质逆解法和半逆解法解的迭加原理,弹性力学基本求解措施位移解法位移边界条件变形协调方程混合解法应变能定理解的唯一性原理圣维南原理一、内容简介通过弹性力学课程学习，我们已经推导和拟定了弹性力学的基本方程和常用公式。本章的任务是对弹性力学所波及的基本方程作一总结，并且讨论具体地求解弹性力学问题的措施。弹性力学问题的未知量有位移、应力和应变分量，合计15个，基本方程有平衡微分方程、几何方程和本构方程，也是15个。面对这样一种庞大的方程组，直接求解显然是困难的，必须讨论问
2、题的求解措施。根据这一规定，本章的重要任务有三个：一是综合弹性力学的基本方程，并按边界条件的性质将问题分类；二是根据问题性质，拟定基本未知量，建立通过基本未知量描述的基本方程，得到基本解法。弹性力学问题的基本解法重要是位移解法、应力解法和混合解法等。应当注意的是对于应力解法，基本方程涉及变形协调方程。三是简介波及弹性力学求解措施的某些基本原理。重要涉及解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理等，这些原理将为此后的弹性力学问题解建立基本。 如果你在学习本章内容时有困难，请及时查阅和复习前三章有关内容，以保证此后课程的学习。 二、 重点1、弹性力学的基本方程与边界条件分类；2、位移解法与位移表达的平衡
3、微分方程；3、应力解法与应力表达的变形协调方程；4、混合解法；5、逆解法和半逆解法；6、解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理5.1 弹性力学的基本方程及其边值问题学习思路:通过应力状态、应变状态和本构关系的讨论，已经建立了一系列的弹性力学基本方程和边界条件。本节的重要任务是将基本方程和边界条件作综合总结，并且对求解措施作初步简介。弹性力学问题具有15个基本未知量，基本方程也是15个，因此问题求解归结为在给定的边界条件下求解偏微分方程。由于基本方程与15个未知量的内在联系，例如已知位移分量，通过几何方程可以得到应变分量，然后通过物理方程可以得到应力分量；反之，如果已知应力分量，也可通过物理方程得
4、到应变分量，再由几何方程的积分求出位移分量，但是这时的应变分量必须满足一组补充方程，即变形协调方程。基于上述的理由，为简化求解的难度，可以选用部分未知量作为基本未知量求解。根据基本未知量，弹性力学问题可以分为应力解法、位移解法和混合解法。上述三种求解措施相应于偏微分方程的三种边值问题。学习要点：1、弹性力学基本方程；2、本构方程；3、边界条件；4、弹性力学边值问题1、弹性力学基本方程一方面将弹性力学基本方程综合如下1、平衡微分方程用张量形式描述2、几何方程用张量形式描述3、变形协调方程4、本构方程-广义胡克定律用应力表达的本构方程用应变表达的本构方程2、边界条件如果物体表面的面力Fsx，Fsy
5、，Fsz为已知，则边界条件应为称为面力边界条件，用张量符号表达为 。如果物体表面的位移 已知，则边界条件应为称为位移边界条件。除了面力边界条件和位移边界条件，尚有混合边界条件。综上所述，弹性力学的基本未知量为三个位移分量，六个应力分量和六个应变分量，合计十五个未知量。基本方程为三个平衡微分方程，六个几何方程和六个物理方程，也是十五个基本方程。这里没有考虑变形协调方程，因素是位移已经作为基本未知量。对于任意的单值持续的位移函数，如果设其有三阶的持续导数，则变形协调方程仅仅是几何方程微分的成果，自然地满足，因此位移作为基本未知量时，不需要考虑变形协调方程。要使基本方程有拟定的解，还要有相应的面力或
6、位移边界条件。弹性力学的任务就是在给定的边界条件下，就十五个未知量求解十五个基本方程。3、弹性力学边值问题固然，具体求解弹性力学问题时，并不需要同步求解十五个基本未知量，可以并且必须做出必要的简化。根据几何方程和本构方程可见，位移、应力和应变分量之间不是互相独立的。如果已知位移分量，通过几何方程可以得到应变分量，然后通过物理方程可以得到应力分量。反之，如果已知应力分量，也可通过物理方程得到应变分量，再由几何方程的积分求出位移分量，但是这时的应变分量必须满足一组补充方程，即变形协调方程。 基于上述的理由，为简化求解的难度，选用部分未知量作为基本未知量。若以位移函数作为基本未知量求解，称为位移解法
7、；若以应力函数作为基本未知量，称为应力解法；若以部分位移分量和部分应力分量作为基本未知量，称为混合解法。在给定的边界条件下，求解偏微分方程组的问题， 数学上称为偏微分方程的边值问题。按照不同的边界条件，弹性力学有三类边值问题。第一类边值问题：已知弹性体内的体力Fbx，Fby，Fbz和其表面的面力Fsx，Fsy，Fsz，求平衡状态的弹性体内各点的应力分量和位移分量，这时的边界条件为面力边界条件。第二类边值问题：已知弹性体内的体力分量Fbx，Fby，Fbz以及表面的位移分量 ，求平衡状态的弹性体内各点的应力分量和位移分量， 这时的边界条件为位移边界条件。第三类边值问题：已知弹性体内的体力分量Fbx
8、，Fby，Fbz，以及物体表面的部分位移分量和部分面力分量，求平衡状态的弹性体内各点的应力分量和位移分量。这时的边界条件在面力已知的部分，用面力边界条件，位移已知的部分用位移边界条件，称为混合边值问题。以上三类边值问题，代表了某些简化的实际工程问题。若不考虑物体的刚体位移，则三类边值问题的解是唯一的。 5.2 位移解法位移表达的平衡微分方程学习思路:以位移函数作为基本未知量求解弹性力学问题的措施称为位移法。位移解法的基本方程是位移表达的平衡微分方程。位移分量求解后，则可以通过几何方程和物理方程求出相应的应变分量和应力分量。如果问题的边界条件为位移边界条件，边界条件描述比较简朴。如果问题为面力边
9、界条件，由于边界条件是通过位移函数的导数描述的，因此应用困难。总之若以位移为基本未知函数求解时，归结为在给定的边界条件下求解位移表达的平衡微分方程，即拉梅方程。学习要点：1、位移表达的应力分量；2、位移表达的平衡微分方程；3、位移边界条件1、位移表达的应力分量位移解法是以位移函数作为基本未知函数求解的，因此需要通过几何方程将位移函数体现为应变分量，再通过物理方程将其体现为应力分量，代入平衡微分方程即可得到位移解法的基本方程。一方面，根据物理方程和几何方程，可以得到由位移分量体现的应力分量，即其中2、位移表达的平衡微分方程将上述位移表达的应力分量代入平衡微分方程，整顿后可得 这里 是拉普拉斯运算
10、符号，即 。上述方程是以位移表达的平衡微分方程，称为拉梅（Lam）方程，它可以表达为张量形式或体现为矢量形式 上式中 为拉普拉斯算符矢量。3、位移边界条件对于边界条件，如果物体表面的位移已知，则直接由位移形式给定，虽然用位移边界条件如果给定的边界条件是物体表面的面力，则面力边界条件式需用位移分量表达，将应力分量代入物理方程，整顿可得位移分量表达的面力边界条件或体现为张量形式 显然，如果给定的边界条件是面力边界条件，那么位移解法的边界条件体现式十分复杂，因此求解的难度将是比较大的。总之，如果以位移函数作为基本未知函数求解弹性力学问题，归结为在给定的边界条件下求解位移表达的平衡微分方程，即拉梅方程
11、。位移分量求解后，则可通过几何方程和物理方程求出相应的应变分量和应力分量。5.3 应力解法应力表达的应变协调方程学习思路:如果选用应力分量或者应力函数作为基本未知量求解弹性力学问题称为应力解法。应力解法的基本方程不仅有平衡微分方程，并且有变形协调方程。由于仅仅满足平衡微分方程的应力分量并不一定是真实应力，这组应力分量求出的应变分量代入几何方程，将也许得到一组矛盾方程，这就不也许求出单值持续的位移分量。由于变形协调方程是应变表达的，在应力解法中，需要转化为基本未知量应力分量表达。运用平衡微分方程的求导形式简化变形协调方程，可以得到应力分量表达的变形协调方程。总之，在以应力函数作为基本未知量求解时
12、，归结为在给定的边界条件下，求解平衡微分方程和应力体现的变形协调方程所构成的偏微分方程。学习要点：1、应力解法的基本方程；2、变形协调方程的简化；3、应力分量体现的变形协调方程；4、体力为常量时的变形协调方程。1、应力解法的基本方程以应力作为基本未知函数求解弹性力学问题时，应力分量必须满足平衡微分方程和面力边界条件。但是仅此还不够，仅仅满足上述条件的应力分量并不是真正的应力。由于这组应力分量求出的应变分量代入几何方程，将也许得到一组矛盾方程，不也许求出单值持续的位移分量。要使这组方程不矛盾，则规定应力分量不仅满足平衡微分方程和面力边界条件，并且应力分量相应的应变分量必须满足变形协调方程。这个问
13、题也可以从物理上解释，应力分量满足平衡微分方程和面力边界条件，只能保证物体的平衡，但是不能保证物体的持续。只有这组应力分量求出的应变分量满足变形协调方程时，才干保证变形后的物体是持续的。当位移分量作为基本未知函数求解时，变形协调方程是自然满足的。如果位移表达基本未知量，只有应力作为基本未知函数求解时，变形协调方程作为一组补充方程是必须的。因此，对于应力解法，应力分量必须满足平衡微分方程和变形协调方程。 由于变形协调方程是由应变分量体现的，在应力解法中，需要将其转换为由应力分量体现。将物理方程改写为其中 将上式代入变形协调方程的第一，四两式，可得轮换x，y，z可得其他四个方程，由此可得应力体现的
14、变形协调方程。2、变形协调方程的简化为了使问题进一步简化，就是使上式有更简朴的形式，运用平衡微分方程再次对变形协调方程作进一步的简化。将平衡微分方程的第一和第二两式分别对x，y求偏导数后再相加，则将上式代入应力分量表达的变形协调方程第一式并且注意到 ，可得轮换x，y，z后来，可得此外两个类似的公式。将轮换后得到的三个公式相加，可得将上式回代到简化方程可得轮换 x，y，z后来，可得此外两个类似的公式。3、应力分量体现的变形协调方程下面我们相应力分量表达的变形协调方程的第二式作简化一方面对平衡微分方程的第二和第三两式分别对z，y求偏导数，然后相加可以得到将上式与变形协调方程的第二式相加后并整顿，可
15、得上式为简化后的方程，轮换x，y，z后来，可得此外两个类似的公式。综上所述，我们一共得到如下六个关系式上述方程即为应力分量体现的变形协调方程，一般称为贝尔特拉米-米切尔方程。4、体力为常量时的变形协调方程如果弹性体体力为常量，则应力分量体现的变形协调方程可以简化为上述方程为应力分量体现的变形协调方程，一般简称为应力协调方程。但是应当注意：应力是不需要协调的，其实质仍为应变分量所满足的变形协调关系。如果用张量形式体现，则上述公式可写作综上所述，在以应力函数作为基本未知量求解时，归结为在给定的边界条件下，求解平衡微分方程和应力体现的变形协调方程所构成的偏微分方程组。5.4 混合解法学习思路:如果选用应力分量和位移分量作为基本未知量求解弹性力学问题，称为混合解法。基本方程为平衡微分方程和应力分量体现的几何方程。混合解法三个平衡微分方
