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1、上海海事大学高等流体力学复习题及答案一,试列出流线微分方程、轨迹方程和涡线方程及说明涡线和流线的区别。答：流线微分方程：7 = - = 一u(x,y,z,t) v(x,y,z,t) w(x,y,z,t)轨迹方程：dx = u(x,y,z,t), dy = v(x,y,z,t), dz = w(x,y,z,t)dtdtdt涡线方程：= _d = -dzdx d3y dz涡线与流线的区别：1) 涡线：先把涡量定义为矢量，再定义涡量连续相切的曲线称为“涡线”。换种说法：“涡线”就 是通过连续涡量(元涡)的轴线。2) 流线：流体质点连续运动速度(矢量)与之相切的曲线称作“流线” 它们的区别：流线定义前
2、提一维和无旋。这样在一条流线上，同一运动质团能量守恒。因此推定出知名的柏努利定理方程。这个定理在无旋流体计算中一直起着十分重要的作用。但是在传统理论的涡线 上无论定义它是一个涡量还是一串涡量，能量都是不被考虑的因素。龙卷风可以按现理论定义成一个连 续涡量的涡线，其象鼻状的各段截面涡量显然不相同。即“涡量通量”。如果运动有涡，便存在涡线， 运动无涡则不存在涡线。但是只要有流体运动,不论是否有涡，流线总是存在的二、流体微团运动的主要运动并用数学方程表示。答：平移：一个流体微团的所有流体质点都有相同的速度,即速度梯度为零。=0 (这个表达式Au不正确)线变形：亶=西Dy = dv dx Dt dyD
3、z = dwDt dz剪切变形：Dyxy = du + dvDt dy dxDYyzDtdv + dw dzdyDyzx = dw + duDt dxdz旋转变形1 du=(z-2 r 601 du=( r -2 d z1u=一 (-0 +2 rdu一y)d zdu一z)d xdux1 du=一 (_x 2 d y1 du = ( xy 2d z1 du= ( A x)z 2 dx dyzdu一 H)du一M)d rdudud r d rr d0三，试指出质点的随体导数、涡量、速度环量及斯托克定理的数学表达式及物理含义。答：随体导数：Dn = dn+udn+vdn+wdnDt dt dx dy
4、 dz式子中，西是空间点上的n量的变化率，称为局部导数；u西+v如+w西则表dtdx dy dz示由于流体质点在不均匀的n场内移动而引起的n量的变化率，称为对流导数；皿表示一个流体质点Dtn量的总变化率，它等于局部导数和对流导数之和，称为随体导数。涡量：咕驚弋心=du-dx几=dv dudx dy速度环量：r二yz斯托克定理：udl =f Q ndAa四、速度势和流函数同时存在的条件，及各自的性质 同时存在的条件：不可压缩流体的平面无旋流动 各自的性质：势函数：调和函数，任一曲线的速度环量为两端点势函数之差；流函数：满足连续性方程；调和函数；任两条曲线间的流量等于流函数之 差；五、试列出牛顿流
5、体的本构方程及牛顿流流体动力学方程，并指出其物理意义。（P33）六、试用环量的圆柱绕流原理说明乒乓球中的弧度球和旋涡理论说明龙卷风的性质。七、已知某二维液流流速场为y=Uy”u v=Ux。（1）证明平面流动为势流；（2）求其等势兀y线方程式。答：（1）证明，由题知道 竝=竝=0,轴=丄（聲如）=0, 该二维流为恒定流且dt dtz 2 dx dy为势流。（2）依题意有势函数的全微分d = u dx+u dy=Uydx+Uxdy,则势函数为x y =Uxy+C0那么等势线方程为：=Uxy+C0=C （C0和C为任意常数）八、已知速度势，求相应的流函数。（1）p=%2J2+兀;（2） a 4昶（其
6、中C为常数）。r答：（1）u =2x+1 , u =业=2y,x dxdy则相应的流函数的全微分d血=-u dx+u d=2ydx+（2x+1）dy,即V =2xy+y+C（C为任意 y x常数）（2） U =业=cos9 =d=Qinf则 dV=ddr+dde=-u dr+ru d6r drr29 rder2dr dQ9r即 d V=S drdQ，那么 V =-CsinQ+Co （Co为任意常数）r2 r r 0 0九、已知二维速度场u=3x+y , v=2x-3y求绕圆柱体（x 2） ?+ （y 4） 2 = 16的速度环量答：由于是二维速度场,根据斯托克定理有：速度环量r= （西西）dA
7、= （2 1）dA=16nA dx dyA（在这里A表示圆柱体的截面域）。十、已知速度场u（x,t）=x/t,v=h,h为常数，设流体的密度只是时间的函数p = p（t）。试求 密度的表达式。数)十量。柱体的答：列连续性方程：dp + d(pu + d(pv) + d(pw = 0dt dxdydz由于p = p(t), v=h为常数，且W=0,所以，亚=0,解得p(t)= - (t 0且C为常dt tt当 t=0 时， p = p(t = 0)、已知有环量圆柱体绕流的复位势中a为圆柱体半径，U为来流速度，为速度环F(z)=U(/z)-iln(z/a)试用伯努利方程求沿圆柱表面的压强分布p(a
8、,3)和流体对圆作用力。答：巴=乎7(习2- 将z=Rei&代入有U；=-uq)2e2i& -阿。=心(号皿。-吟R2又由 eid =cos0 -isin0，则 U=-U(2)2 cos 0 + iU (昱)sin0re又Wz= (uR iuQ)ei。，当 R=a 时，uR = Ucos 0，uQ = r-U sin0根据伯努利方程：p+丄卩“2=C，则p=C-丄卩“2=C-丄卩(兔2+吗2)=C2 2 2 K U根据留数定理和布拉修斯公式：X-iY=2 dz,2而由(1)有2 =込务理輕卫所以x-iY=辺解边+ i空輕Z Z4Z3 z22Z4Z3idRr(2 ZUsinO +)2aa.2空)dz=0(猜为0)Z2即X=0 (表示圆柱体所受阻力，沿流动方向为0)，升力Y等于虚部的负值也为0.
