《2015届【北师大版】高三数学一轮课时作业【44】（含答案）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015届【北师大版】高三数学一轮课时作业【44】（含答案）（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、课时作业44立体几何中的向量方法(二)一、选择题(每小题5分，共40分)1(2014天水模拟)已知二面角l的大小是，m，n是异面直线，且m，n，则m，n所成的角为()A.B.C. D.解析：m，n，异面直线m，n所成的角的补角与二面角l互补又异面直线所成角的范围为(0，m，n所成的角为.答案：B2正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱BB1中点，G是DD1中点，F是BC上一点且FBBC，则GB与EF所成的角为()A30 B120C60 D90解析：如图建立直角坐标系Dxyz，设DA1，由已知条件，得G(0,0，)，B(1,1,0)，E(1,1，)，F(，1,0)，(1,1，)，(，0，)co
2、s，0，则.答案：D3长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)(1,0,2)，(1,2,1)，cos，.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.答案：B4(2013山东，4)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为()A. B.C. D.解析：如图，设P0为底面ABC的中心，连结PP0，由题意知|PP0|为
3、直三棱柱的高，PAP0为PA与平面ABC所成的角，SABC()2sin60.三棱柱的体积V，|PP0|，|PP0|.又P0为底面ABC的中心，则|AP0|等于正ABC高的，又易知ABC的高为，|AP0|1.在RtPAP0中，tanPAP0，PAP0，故选B.答案：B5(2012陕西，5)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A. B.C. D.解析：设CB1，则CACC12，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)，(0,2，1)，(2,2,1)，|，|3，413，cos，故选A.答案
4、：A6(2014南昌月考)在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin，的值为()A. B.C. D.解析：设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系(如图)，可知(2，2,1)，(2,2，1)，cos，sin，.答案：B7(2014东北八校一模，9)已知三棱锥DABC的三个侧面与底面全等，且ABAC，BC2，则以BC为棱，面BCD与面BCA所成的二面角的余弦值为()A. B.C0 D解析：取BC中点E，连AE、DE，可证BCAE，BCDE，AED为二面角ABCD的平面角又AEED，AD2，AED90，故选C.
5、答案：C8(2014山西临汾一模，7)如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA平面ABCD，PAAB，则PB与AC所成的角是()A90 B60C45 D30解析：将其还原成正方体ABCDPQRS，显然PBSC，ACS为正三角形，ACS60.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)9若平面的一个法向量为n(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a(2，3,3)，则l与所成角的正弦值为_解析：cosn，a.又l与所成角记为，即sin|cosn，a|.答案：10.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF
6、和BC1所成的角是_解析：建立如图所示的空间直角坐标系设ABBCAA12，则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，则(0，1,1)，(2,0,2)，2，cos，EF和BC1所成角为60.答案：6011(2012大纲全国，16)三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1CAA160，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_解析：由BAA1CAA160可得四边形BCC1B1为正方形把底面ABC补成菱形ABCD、把底面A1B1C1补成菱形A1B1C1D1，即把三棱柱补成平行六面体ABCDA1B1C1D1，则B1AD1为异面直线AB1与BC1所成的角不妨设棱长为2
7、，则AD1BC12，AB1B1D12，由余弦定理可得cosB1AD1.答案：三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)12.已知三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABAC，PAACAB，N为AB上一点，AB4AN，M，S分别为PB，BC的中点(1)求证：CMSN；(2)求SN与平面CMN夹角的大小解：设PA1，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0，)，N(，0,0)，S(1，0)(1)证明：(1，1，)，(，0)，因为00，所以CMSN.(2)
8、(，1,0)，设a(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则即令x2，得a(2,1，2)因为|cosa，|，即SN与平面CMN夹角的正弦值为.所以SN与平面CMN夹角为45.13(2012新课标全国)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCAA1，D是棱AA1的中点，DC1BD.(1)证明：DC1BC.(2)求二面角A1BDC1的大小解：(1)由题设知，三棱柱的侧面为矩形由于D为AA1的中点，故DCDC1.又ACAA1，可得DCDC2CC，所以DC1DC.而DC1BD，DCBDD，所以DC1平面BCD.BC平面BCD，故DC1BC.(2)由(1)知BCDC1，且BCCC1，则BC平面ACC
9、1A1，所以CA，CB，CC1两两相互垂直以C为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.由题意知A1(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,0,2)则(0,0，1)，(1，1,1)，(1,0,1)设n(x，y，z)是平面A1B1BD的法向量，则即可取n(1,1,0)同理，设m(x，y，z)是平面C1BD的法向量，则即可取m(1,2,1)从而cosn，m.故二面角A1BDC1的大小为30.14(2012全国)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，AC2，PA2，E是PC上的一点，PE2EC.(1)证明：PC
10、平面BED；(2)设二面角APBC为90，求PD与平面PBC所成角的大小解：(1)以A为坐标原点，射线AC为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设C(2，0,0)，D(，b,0)，其中b0，则P(0,0,2)，E(，0，)，B(，b,0)于是(2，0，2)，(，b，)，(，b，)，从而0，0，故PCBE，PCDE.又BEDEE，所以PC平面BDE.(2)(0,0,2)，(，b,0)设m(x，y，z)为平面PAB的法向量，则m0，且m0，即2z0且xby0，令xb，则m(b，0)设n(p，q，r)为平面PBC的法向量，则n0，且n0，即2p2r0且bqr0，令p1，则r，q，n(1，)因为面PAB面PBC，故mn0，即b0，故b，于是n(1，1，)，(，2)，cosn，n，60.因为PD与平面PBC所成角和n，互余，故PD与平面PBC所成的角为30.
