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1、第三章、几何第一节 平面几何证明(上) C1001 已知线段MN的两个端点在一个等腰三角形的两腰上，MN的中点S作等腰三角形的底边的平行线，交两腰于点K和L证明：线段MN在三角形底边上的正投影等于线段KL【题说】 1956年1957年波兰数学奥林匹克三试题2【证】 设M、N在直线KL上的射影分别为D、E，由于MS=SN，所以MD=NE由于AB=AC，KLBC，所以DKM=AKL=ALK，又MDK=NEL=90，所以MDKNEL，DK=EL，从而DE=KL，即MN在BC上的正投影等于KLC1002 设四边形ABCD内接于圆O，其对边AD与BC的延长线交于圆O外一点E，自E引一直线平行于AC，交B
2、D延长线于点M，自M引MT切圆O于T点，则MT=ME【题说】 1957年南京市赛初赛5利用切割线定理和相似三角形【证】 四边形ABCD内接于圆O，故1=2由MEAC，得2=4，又1=3，所以3=4，又EMB=DME，所以EMBDME从而有即 ME2=MBMD所以MT2=MBMD=ME2即 MT=MEC1003 若一直角三角形的外接圆半径为R，其内切圆半径为r，与斜边相切的旁切圆半径为t，若R为r及t的比例中项，证明这直角三角形为等腰直角三角形【题说】 1957年北京市赛高二题4【证】 设直角ABC的斜边长为c，两直角边长为a、b易知R=c/2所以a=bC1004 任意四边形ABCD的对角线AC
3、与BD相交于P，而BD与AC的中点是M与N，设Q是P关于直线MN的对称点，过P作MN的平行线，分别交AB、CD于X、Y，又过Q作MN的平行线，顺次交AB、BD、AC、CD于E、F、G、H试证：1EF=GH；【题说】 1963年成都市赛高二二试题4同本届高三二试题4【证】 1P、Q关于MN对称，所以MN平分PQ，又FGMN，所以MP=MF，从而BF=PD，BP=FD同理，有AP=CG，AG=PC比较（1）、（2）得EF=GHC1005 在内角都相等的凸n边形中，设a1，a2，an依次为边的长度，而且满足不等式a1a2an证明：必有a1=a2=an【题说】 第五届（1963年）国际数学奥林匹克题3
4、本题由匈牙利提供【证】 当n为奇数时，设n=2k+1（k为正整数），A2A1An的平分线A1B交Ak+1Ak+2于点B（如图）由于已知n边形的各角都相等，所以A1BAk+1Ak+2，因此折线A1A2Ak+1与折线A1AnAk+2在这条角平分线上的射影都等于A1B另一方面，A1A2A1An，并且它们与A1B的交角相等，所以A1A2的射影A1An的射影同理A2A3的射影AnAn1的射影所以上述各式中等号均应成立，即a1=a2=an当n为偶数时，作A1A2的中垂线L考虑各边在L上的射影，同样可得a1=a2=anC1006 在平面上取四点A、B、C、D，已知对任何点P都满足不等式PA+PDPB+PC证
5、明；点B和C在线段AD上，并且AB=CD【题说】 1966年全俄数学奥林匹克九年级题2【证】 由于点P是任意的可以取P=D，则应有ADBD+DC；若取P=A，则有ADAB+AC将二式相加，得2ADAB+AC+BD+CD （1）然而另一方面，总有ADAC+CD及ADAB+BD因此又得2ADAB+AC+BD+CD （2）由（1）、（2）知2AD=AB+AC+BD+CD从而其他4个不等式中皆取等号，亦即B、C两点一定在线段AD上，而且AB=CDC1007 凸多边形内一点O同每两个顶点都组成等腰三角形，证明：该点到多边形的各顶点等距【题说】 第六届（1972年）全苏数学奥林匹克九年级题6【证】 （1）
6、如果凸多边形是ABC，则结论显然成立（2）对n（n3）边形，设A、B、C为多边形的任意三个顶点，则C或在AO、BO的反向延长线组成的夹角内（图a），或C在该角外，即该角与多边形的边DE相交（图b）在图a中，点O在ABC内，由（1），AO=BO=CO在图b中，点O在BDE和ADE内，故有AO=DO=EO=BOC1008 设有一圆，它与O两边相切，切点为A、B从点A引OB的平行线，交圆于点C，线段OC与圆交于E，直线AE与OB交于K证明：OK=KB【题说】 第七届（1973年）全苏数学奥林匹克九年级题2【证】 设圆在点C的切线与O两边分别相交于P、Q因为AP=PC，所以APC和OPQ皆为等腰三角形
7、，从而AO=CQ=OB=BQ又OAE=OCA=COQ，且AOB=CQB，从而OAKQOC所以亦即 OK=KBC1009 圆的内接四边形两条对角线互相垂直，则从对角线交点到一边中点的线段等于圆心到这一边的对边的距离【题说】 1978年上海市赛二试题6【证】 如图，已知ABCD为O的内接四边形，ACBD于E，F为AB中点，OGDC，G为垂足因为 AF=FB=EF EAB=AEF又EAB=90EBA=90GCH=GHC所以 AEFGHC ， EFGO同理可证，EGFO所以EGOF是一个平行四边形，从而FE=OGC1010 四边形两组对边延长后分别相交，且交点的连线与四边形的一条对角线平行，证明：另一
8、条对角线的延长线平分对边交点连成的线段【题说】 1978年全国联赛二试题1【证】 设四边形ABCD的对边交点为E、F，并且BDEF，AC交BD于H，交EF于G由于BDEF，所以GF=EGC1011 在平面上已知两相交圆O1和O2，点A为交点之一，有两动点M1和M2，从点A同时出发，分别以常速沿O1和O2同向运动，各绕行一周后恰好同时回到点A证明：在平面上存在一定点P，P到点M1和M2的距离在每一时刻都相等【题说】 第二十一届（1979年）国际数学奥林匹克题3本题由原苏联提供【证】 设O1和O2为已知圆的圆心，r1和r2分别为它们的半径作线段O1O2的垂直平分线l及点A关于l的对称点P，则O1P
9、=r2，O2P=r1（如图）由已知，AO1M1=AO2M2，由对称性，AO1P=AO2P于是，M1O1P=M2O2P又因为O1M1=O2P=r1，O2M2=O1P=r2，故O1M1PO2M2P，M1P=M2P别证 可以用复数来作以O1为原点，O1O2为实轴建立复平面C1012 二圆彼此外切于D，一直线切一圆于A，交另一圆于B、C两点证明：A点到直线BD、CD的距离相等【题说】 第十三届（1987年）全俄数学奥林匹克十年级题3【证】 过切点D作二圆的公切线l，交AB于F设E在CD的延长线上，则BDA=BDF+FDA=ACD+FAD=ADE，即DA平分BDE，所以，A到BD、CD的距离相等C101
10、3 在“筝形”ABCD中，AB=AD，BC=CD经AC、BD的交点O任作两条直线，分别交AD于 E，交BC于F，交AB于G，交CD于HGF、EH分别交BD于I、J求证：IO=OJ【题说】 1990年全国冬令营选拔赛题3本题宜用解析几何来证本题是蝴蝶定理的一个推广【证】 易证ACBD如图，以O为原点，BD为x轴，CA为y轴，建立直角坐标系设各点坐标为A（0，b），B（a，0），C（0，c），D（a，0），EF的方程为y=kx，GH的方程为y=lx，则AD的方程是EH的方程是比较常数项与y的系数有J的横坐标x满足及（1）l（2）k得利用（3）得同样可得的横坐标x应满足（将（4）中的k与l互换，a换
11、成a）由（4）、（5）立即看出I、J的横坐标互为相反数，即IO=OJC1014 如图，设ABC的外接圆O的半径为R，内心为I，B=60，AC，A的外角平分线交O于E证明：（1）IO=AE；【题说】 1994年全国联赛二试题3【证】 （1）连AI，延交O于F，则易知EF为O直径过E作EDIO交AF于D，则IO是FDE的中位线，从而IO因AOC=2ABC=120故A、O、I、C共圆从而（2）连CF，则 IFC=AFC=B=60 ICFICB+BCF故IF=IC，又由（1）知IO=AE，从而IO+IA+IC=EA+AI+IF=EA+AFEF=2R令=OAI，则（因AC）又 AE+AF2Rsin+2R
12、cos当（0，45）时，sin（45+）为增函数，故 AE+AF2R（sin30+cos30） C1015 设ABC是锐角三角形，在ABC外分别作等腰RtBCD、ABE、CAF在这三个三角形中，BDC、BAE、CFA是直角又在四边形BCFE外作等腰RtEFG，EFG是直角求证：（2）GAD=135【题说】 1994年上海市赛高三二试题2【证】 以点A为原点建立直角坐标系，与B相应的复数记为ZB，等等C1016 设M、N为三角形ABC的边BC上的两点，且满足BM=MN=NC一平行AC的直线分别交AB、AM、AN于D，E和F，求证：EF=3DE【题说】 1994年澳大利亚数学奥林匹克一试题1【证】 如图，过N、M分别作AC的平行线交AB于H、G点NH交AM于K点则BG=GH=HAHKKN=13又由于DFHN，于是DEEF=HKKN=13故EF=3DEC1017 ABCD是一个平行四边形，E是AB上的一点，F为C
