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1、立体几何中二面角的平面角的定位 空间图形的位置关系是立体几何的主要内容，处理立体几何问题的关键在于三定：定性分析定位作图定量计算，其中定性是定位、定量的基础，而宣则是定位、定性的深化，在面面关系中，二面角是其中的主要概念之一，它的度量归结为平面上角的度量，通常来说，对其平面角的定位是问题处理的先决一步，可是，从以往的教学中发觉，学生往往把握不住其定位的基础思绪而造成思维混乱，甚至错误地定其位，使问题的处理徒劳无益，本文就是针对这一点，来谈一谈平日教学中体会。一、 重温二面角的平面角的定义图（1），、是由出发的两个平面,O是上任意一点,OC，且OC；CD ，且OD。这就是二面角的平面角的环境背景
2、，即COD是二面角的平面角，从中不难得到下列特征：、过棱上任意一点，其平面角是唯一的；、其平面角所在平面和其两个半平面均垂直；另外，假如在OC上任取上一点A，作ABOD垂足为B,那么由特征可知AB.突出、OC、OD、AB，这便是另一特征；、表现出一完整的垂线定理（或逆定理）的环境背景。对以上特征进行剖析因为二面角的平面角是由一点和两条射线组成，因此二面角的平面角的定位可化归为“定点”或“定线（面）”的问题。特征表明，其平面角的定位可先在棱上取一“点”，耐人寻味的是这一点能够随便取，但又总是不随便取定的，它必需和问题背景相互沟通，给计算提供方便。例1 已知正三棱锥VABC侧棱长为a，高为b，求侧
3、面和底面所成的角的大小。因为正三棱锥的顶点V在底面ABC上的射影H是底面的中心，因此连结CH交AB于O，且OCAB，则VOC为侧面和底面所成二面角的平面角图（2）。正因为正三棱锥的特征，处理此问题，能够取AB的中点O为其平面角的顶点，而且使背景突出在面VOC上，给深入定量发明得天独厚的条件。特征指出，假如二面角的棱垂直某一平面和、的交线，而交线所成的角就是的平面角，图。由此可见，二面角的平面角的定位能够考虑找“垂平面”。例2 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把ABD折起。使点A在平面BCD上的射影A落在BC上，求二面角ABCC的大小。这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，处理问
4、题的关键在于搞清折叠前后“变”和“不变”。结果在平面图形中过A作AEBD交BD于O、交BC于E，则折叠后OA、OE和BD的垂直关系不变。但OA和OE此时变成相交两线段并确定一平面，此平面必和棱垂直。由特征可知，面AOE和面ABD、面CBD的交线OA和OE所成的角，即为所求二面角的平面角。另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在BC上,因此E点就是A，这么的定位给下面的定量提供了优质服务。实际上，AO=ABAD/BD=3*4/5=12/5，OA=OE=BOtgcCBD，而BO=AB2/BD=9/5, tgCBD，故OA=27/20。在RtAAO中，AAO=90因此cosAO
5、A=AO/AO=9/16，tyAOA=arccos9/16即所求的二面arccos9/16。经过对例2的定性分析、定位作图和定量计算，特征从另一角度告诉我们：要确定二面角的平面角，我们能够把组成二面角的两个半平面“摆平”，然后，在棱上选择一合适的垂线段，即可确定其平面角。“平面图形”和“立体图形”相映生辉，不但便于定性、定位，更利于定量。特征显示，假如二面角的两个半平面之一，存在垂线段AB，那么过垂足B作的垂线交于O，连结AO，由三垂线定理可知OA；或由A作的垂线交于O，连结OB，由三垂线定理逆定理可知OB，此时，AOB就是二面角的平面角，图。由此可见，地面角的平面角的定位能够找“垂线段”。例
6、3 在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为2，E为BC的中点。求面B1D1E和面积BB1C1C所成的二面角的大小。例3的环境背景表明，面B1D1E和面BB1C1C组成两个二面角。由特征可知，这两个二面角的大小肯定互补，下面，如果思维由特征监控,背景中的线段C1D1会使眼睛一亮,我们只须由C1(或D1)作B1E的垂线交B1E于O,然后连结OD1(或OC1),即得面D1BE和面CC1B1E所成二面角的平面角C1OD1，图，计算可得C1O=4*51/2/5。在RtD1C1O中，tgC1OD=D1C1/C1O=51/2/2。故所求的二面角角为arctg51/2/2或arctg=51/2/2三、三个
7、特征的关系以上三个特征提供的思绪在处理详细总是时各具特色，其标的是分别找“点”、“垂面”、“垂线段”。实际上，我们只要找到其中一个，另两个就接踵而来。掌握这种关系对提升解题技能和培养空间想象力很主要。1、 融合三个特征对思维的监控，可有效地克服、抑制思维的消极作用，培养思维的宽广性和批判性。例3 将棱长为a的正四面体的一个面和棱长为a的正四棱锥的一个侧面吻合，则吻合后的几何展现多个面？这是一道竞赛题，考生答“7个面”的占99.9%，少数应服从多数吗？图，过两个几何体的高线VP、VQ的垂足P、Q分别作BC的垂线，则垂足重合于O，且O为BC的中点，OP延长过A，OQ延长交ED于R。由特征，AOR为
8、二面角ABCR平面角，结合特征、，可得VAOR为平行四边形，VA/BE，因此V、A、B、E共面，同理V、A、C、D共面，因此这道题的答案应该是5个面！2、 三个特征，即使客观存在，相互联络，但在很多同题中却表现得含糊而冷漠三个“标的”均藏而不露，在这种形势下，逼你去作，那么作谁？由特征，有了“垂线段”便可定位。例4 已知RtABC的两直角边AC=2，BC=3，P为斜边上一点，沿CP将此直角三角形折成直二面角ACPB，当AB=71/2时，求二面角PACB的大小。作法一：ACPB为直角二面角。过B作BDCP交CP的延长线于D，则BDDM APC。过D作DE AC，垂足为E，连BE。DEB为二面角ACPB的平面角。作法二：过P点作PDPC交BC于D，则PD面APC。过D作DEAC，垂足为E，边PE。DEP为二面角PACB的平面角。再说，定位是为了定理，求角的大小往往要化归到一个三角形中去解，有了“垂线段”就可把它化归为解一个直角三角形。由此可见，要作，最好考虑作“垂线段”。总而言之，二面角其平面角的正确而合理的定位，要在正确其定义的基础上，掌握其三个基础特征，并灵活利用它们考察问题的环境背景，建立良好的主观心理空间和客观心理空间，以不变应万变。
