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1、培优点五导数的应用1利用导数判断单调性例1:求函数f X = X3 3x2 _3x -3 e-的单调区间【答案】见解析【解析】第一步：先确定定义域，f x定义域为R，第二步：求导：f x 二3x26x -3 e-x33x2-3x -3 e* 二-x3-9xe*-x x -3 x 3 e，第三步：令 f x .0,即-x 3 x 3 e- 0，第四步：处理恒正恒负的因式，可得x x3 x：0，第五步：求解x三3,0 U 3,亠j，列出表格XE-3)(-X0)g)fix)+z2 函数的极值 例2：求函数f (x) =xe的极值.【答案】f x的极大值为f 1 =丄，无极小值e【解析】f x =ex
2、e = 1 -x e令f x 0解得：x：1 , f x的单调区间为:X(fl)1(出)/w+0极大值1.f x的极大值为f 1产丄，无极小值.3利用导数判断函数的最值例3:已知函数f(x)=l nx巴R)在区间1,e 上取得最小值 4,则.x【答案】-3e【解析】思路一：函数f x的定义域为o, ；，f x =- m, x x当f x =0时，1孚=o,x x当m_0时，X 0 , f x为增函数，所以f(x)min =f (1) = m=4 , m=4，矛盾舍去； 当 m ：0时，若 x 三0, _m , f x ： 0 , f x 为减函数，若 x 三.m, : , f 0 , f x
3、为增函数，所以f -m =ln m T为极小值，也是最小值； 当-m d，即-1：；m：0时，f x在1,e上单调递增，所以f(x)mm = f=-m = 4 , 所以m - 4 (矛盾); 当-me，即 mc-e 时，f(x )在1,e上单调递减，f(x= f (e )=1巴=4 ,e所以m - -3e; 当1乞-me，即-e乞m乞一1时，f x在1,e上的最小值为 f m =ln -m 7=4 , 此时 m = -e3 ： -e (矛盾).综上m = -3e .思路二：f x =1 茸=x 2m，令导数f x =0= x =-m，考虑最小值点只有可能在边x x x界点与极值点处取得，因此可
4、假设x=m , x=1, x=e分别为函数的最小值点，求出m后再检验即可.对点增分集训一、单选题1 .函数f x =x -l nx的单调递减区间为（)A.0,1B.0,:C.1,：D._：,0 U 1,：【答案】A【解析】函数y=xlnx的导数为y=1_,x令1y =10,得 x ：1 ,x结合函数的定义域，得当XGQ1时，函数为单调减函数.因此，函数y=xlnx的单调递减区间是0,1 故选A.2.若x =1是函数f x =axlnx的极值点，则（）A. f x有极大值-1C. f x有极大值0B. f x有极小值-1D. f x有极小值0【答案】A1【解析】因为x =1是函数f x = ax
5、 l nx的极值点，所以f 1 =0 , a，-=0 , a = -1 ,.f X I=0= X =1 .当 x 1 时，f x ：0 ；当 0 :： X ：1 时，X 0 ,因此 f x 有x极大值-1,故选A.3.已知函数f x -x3-ax在：，-1 1上单调递减，且g x=2x在区间1,2 1上既有最大值，又有最小值，则实数a的取值范围是（)XA.a-2B.a 3C.一3 a ： -2D. 一3 乞 a 乞-2【答案】C【解析】因为函数f x 二3-x -ax在:*, T1上单调递减，所以 fx 二x2-a0 对于一切 xv,_11 恒成立，得-3x2_a, a _-3 ,又因为g x
6、；=2x仝在区间1,2 上既有最大值，又有最小值，x所以，可知g x；=2在1,2 1上有零点，x也就是极值点，即有解 2=0,在1,2 上解得a =_2x2,x可得 一8 乞 a ： -2，. 3 乞 a ： -2，故选 C.4.函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，贝U m的范围是（A.丄，：B. 一二丄C.-,:3 3_3【答案】C【解析】若函数y =x3 x2 mx 1是R上的单调函数，只需 y3x2 2x m _0恒成立,4即 A= 4-12m _0 , . m .故选 C.3【答案】A5.遇见你的那一刻，我的心电图就如函数【解析】由yW总sinx，其定义域为尺0，即一1%1
7、，H.-x =ln-sin x ,则f -xf x =0函数为奇函数，故排除C D, f x二仃K COSx 则函数在定义域内单调递减，排除B,故选A6函数 f xi；Jx3 ax22x 1在x1,2内存在极值点，则（A.B.1 1a 2 2C a：-1 或 a -D. a -或 a 亠12 2 2 2【答案】A【解析】若函数f x =1 x3 ax2 -2x 1在xW1,2无极值点，则f x = x2 2ax-2亠0或2fx1=x ，2ax2_0 在 XG1,2 恒成立.2 1 当 fx=x 2ax2_0 在 Xf1,2 恒成立时，a 叮时，1=2a_1_0，得 a ;-a _2时，2 =4
8、a+2 _0，得 a .一； 当 f x =x 2ax 2_0 在 Xf1,2 恒成立时，则 1 =2a1 冬 0 且 f 2 =4a+2 乞 0 , 得 a _ -1 ;2综上，无极值时a _ 或a .-在-：. a :在xG1,2存在极值.故选 A.2 2 2 27已知 f x = ax2 2x a , x R，若函数 g x =x3 - a2-2x-f x 在区间 J-1,3 上单调递减，则实数a的取值范围是（）A. a ： 或 a、3B a 1 或 a 3 C a ： -9 或 a、3D. a 9 或 a 3【答案】D【解析】因为g x =3x2 -2ax -a2，函数g x =x3
9、- a? -2 x - f x在区间：T,3上单调递减，所以g x 0在区间-1,3上恒成立，|g （T 芦0g2 2a 一3 启0只需.，即 2解得a乞或a_3，故选D.g （3 ）兰0应 +6a -27 工0&函数y二f x在定义域 -3,3内可导，其图像如图所示.记y二f x的导函数为y二x，则不等式 x _0的解集为（B3,8C _-?!U1,2【答案】A【解析】由图象知 L1，和b,3 上f(x )递减，因此f(x)O的解集为I _-,HJ!2,3 3 一 3 一故选A.19设函数 f x = x-lnx x 0，则 y 二 f x ()3A. 在区间11,1，1,e内均有零点eB.
10、 在区间,1 ,1,e内均无零点eC. 在区间,1内有零点，在区间 1,e内无零点eD. 在区间1,1内无零点，在区间 1,e内有零点e【答案】D1 1【解析】f x的定义域为0, ； , f x在0,3单调递减，3,；单调递增，f X-1 ,3 x当在区间1丄,1上时，f x在其上单调，fl11 1 0, f1=l. 0 ,故fx在区间ee 3e3*,1上无零点,当在区间1,e上时,上有零点.f x在其上单调,e1f e 1 ： 0 , f 10 ,故 f x 在区间 1,e33故选D.10若函数f x=x3 3ax2 3 a 2 x 1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为（ ）A.
11、_1 ：a ：2B. -1 乞a 2C. a _-1 或 a_2 D. a ：-1 或 a . 2【答案】D322【解析】：f x =x亠3ax亠3a 2x1 , f x =3x亠6ax亠3 a 2 ,.函数f x =x 3ax 3 a 2 x 1既有极大值又有极小值，2.f x =3x 6ax 3 a 2 =0有两个不等的实数根，2 2.二36a 36 a 2 0 , a -a -2 0，则 a ： -1 或 a 2，故选 D.11. 已知函数f x =x3 2ax2 3bx c的两个极值点分别在 -1,0与0,1内，则2a - b的取值范围是（）A. 3 IB.1 iC. -1 - ID.
12、 1 - I2,2 2， 2,2 ，2【答案】A【解析】.由函数f x =x 2ax 3bx c, 求导f x =3x 4ax 3b ,f x的两个极值点分别在区间-1,0与0,1内，.由3x2 4ax 30的两个根分别在If 0 ：0区间 0,1 与-1,0 内，f -10 ,f 103b ： ：0令z =2a -b,-转化为在约束条件为3 -4a 3b 0时，求z=2a-b的取值范围，3 4a 3b 0可行域如下阴影（不包括边界），#.目标函数转化为z=2a_b ,由图可知，z在A 3,0处取得最大值-，在B -,0处 W丿2 I 4丿_3( 3 3 xi一取得最小值-.可行域不包含边界，
13、.z=2a-b的取值范围 -本题选择A选项. 2V 2 2 12. 设函数y = f x在区间a,b上的导函数为f x , f x在区间a,b上的导函数为f x，若在区间a,b上f x 0，则称函数f x在区间a,b上为“凹函数”，已知f X 二丄 X5 - 丄 mx4v f 20 122-2x在区间1,3上为“凹函数”，则实数m的取值范围为(A.B.【答案】D14-25x mx 2x , 20 12f I4 斗4x，函数在区间1,3上为“凹函数” f x 0 ,324- x -mx -4 0在1,3上恒成立，即 m ：x 2在1,3上恒成立.x4 4 y在1,3上为单调增函数， x -二1-4二-3 , m乞-3 ,xx故选D.二、填空题13. 函数f(x)=2x3-2x2在区间1-1,2 上的最大值是 2【解析】 f(x )=6x _4x=2x(3x_2 )，已知 x 二,2 ,2当2_x.-或一1沙：0时，f x .0, f x在该区间是增函数，32当0沐上时，f x ：0 , f x在该区间是减函数，3故函数在x=0处取极大值，f 0=0，又f 2 =8，
