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1、学习好资料欢迎下载第五讲锐角三角函数【问题探索】一般地,如果锐角A的大小确定,我们可以作出无数个以A为一个锐角直角三形(如图),那么图中:BCBC=11=ACAC1BC22=成立吗?AC2BB1B2(1)当A变化时,上面等式仍然成立吗?(2)上面等式的值随A的变化而变化吗?【新课引入】ACC1C2tanA=A的对边由前面的探索可以看出:如果一个直角三角形的一个锐角的大小确定,那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也确定。这个比值反映了斜边相对于这角的邻边的倾斜程度,它与这个锐角的大小有着密切的关系。1、在直角三角形中,我们将A的对边与它的邻边的比称为A的正切,记作tanA即:a=A的邻边b同理
2、:当直角三角形的一个锐角的大小已确定时,它的对边与斜边的比值_;它的邻边与斜边的比值_。2、如图,在ABC中,C90,我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做A的_,记作_,即:sinA_=_.3、如图,在ABC中,C90,我们把锐角A的邻边b与斜边c的比叫做A的_,记作=_,即:cosA=_=_。(你能写出B的正弦、余弦的表达式吗?)试试看_.思考:你能分别说出30、45、60角的三角函数值吗?并填写下表:三角函数值304560三角函数sincostan(根据一付三角板的三边关系进行计算)【总结归纳】1、牢记三角函数的概念,紧紧抓住直角三角形,勤快画图,是解答三角函数题的关键;2、特殊角的三角函
3、数值,只要记住两个三角板的各边比值(如图)严格按照三角函数的定义,即可心算推出。学习好资料欢迎下载【精选例题】(一)锐角三角函数的概念例1、(1)在ABC中,各边都扩大5倍,则角A的三角函数值()A不变B扩大5倍C缩小5倍D不能确定(2)ABC中,C=90,cosA=35,AC=6cm,那么BC等于()cmC.cmD.cmA8cmB2418655534BCD.(3)菱形ABCD的对角线AC=10cm,BC=6cm,那么tan53A553434A2为()解析:(1)角A的三角函数值都是两条边的比值,根据分式的基本性质分式的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数(或整式),分式的值不变,而ABC
4、各边都扩大5倍倍数一样,因此两边比值也不变。故选A;可知,=,可求AB=10,再用勾股定理求得(2)画直角三角形草图,根据cosA=AC63ABAB5BC=8。故选A;(3)画菱形ABCD,根据菱形“对角线互相垂直平分”、“每一条对角线平分一组对角”,可A3知两对角线把菱形分成四个全等的直角三角形,根据正切函数的定义即可求出tan=。25故选A。前思后想:解答锐角三角函数题时,要把握几点:解题必画图,概念记心中,定要找直角,没有就构造。牛刀小试:1.在ABC中,如果各边长度都扩大3倍,那么锐角A的各个三角函数值()A都缩小B都不变13C都扩大3倍D无法确定D2如图,在正方形网格中,直线ABCD
5、相交所成的锐角为,则sin的值是()CC.D.A.34B.434355AB3直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,现将ABC如图那样折叠,使点A与点B重合,折痕为DE,则tanCBE的值是()7B3CA247724D13学习好资料欢迎下载CE68BDA4.在ABC中,ACB=90,sinB=则cosB=.275ABC中,AB=AC=5,BC=8,则tanB=答案:1B;2.C;3.C;4.357;5.34(二)特殊角的三角函数值例2计算下面各式:3tan303cos230-2sin30解析:2cos60+tan45+cos245tan230+tan-2303tan30=3cos230-2si
6、n303(33331)2-222=4352cos60+tan45+cos24522122+1+()2=tan230+tan-23033()2+()-23334前思后想:关于三角函数的计算题,要先代入(代入特殊角的三角函数值),再求值。记住三角函数值最关键。例3.已知A是锐角,且sinA=3,那么A等于()2A30B45C60D75解析:根据对特殊角的三角函数值的记忆sin60=32,进行反推,可知A=60,故选C。前思后想:对于特殊角的三角函数值,要相当熟练,做到“倒背如流”既能顺推,又能倒推。牛刀小试:1计算:(1)4sin60+(-2)-1-(2009-2008)0(2)tan260+4s
7、in30cos452.已知a为锐角,当2无意义时,求tan(a+15)tan(a-15)的值。1-tana学习好资料欢迎下载3.若3tan2q=1,则q=,4ABC中,若|tanA-1|+(32-cosB)2=0,则C的度数为5.ABC中,若sinA+(答案:1232cosB)2=0,则C=_度+1=23-;1(1)4sin60+(-2)-1-(2009-2008)0=4311222(2)tan260+4sin30cos45=(3)2+41222=3+2221-tana无意义,tana=1,a=45=3。tan(a+15)tan(a-15)=tan60tan30=3-323333tan2q=1
8、,tan2q=3,2q=30,q=15。3-cosB)2=0,tanA=1,cosB=4|tanA-1|+(3322,A=45,B=30,C=105。5sinA+(3cosB)2=0,sinA=,cosB=。1221322A1-3B.3-1C.-1D.1-3A=30,B=30,C=120。(三)锐角三角函数的大小比较1、当角度在090间变化时,正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)2、当角度在090间变化时,0sincos0.当角度在00.例4.(1)化简(tan30-1)2()。333(2)当锐角30时,则cos的值是()A大于B小于C大于D小于1122解析:(1)(tan30-1)2tan30-13322学习好资料欢迎下载就要讨论tan301的正负性tan30=31,tan3010,301(tan3-2=1)-故选A33(2)因为cos30=32,且当0a30时,cosa32。故选D前思后想:可以根据特殊角的三角函数值,总结正弦、余弦和正切值随角度的变化而变化情况,也可以总结在某个范围内正弦与余弦的大小情况,以及正切值与1