《用矩阵的初等变换求逆矩阵》由会员分享，可在线阅读，更多相关《用矩阵的初等变换求逆矩阵（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2007年11月16日至18日，有幸参加了由李尚志教授主讲的国家精品课程线性代数（非数学专业）培训班，使我受益匪浅，在培训中，我见识了一种全新的教学理念。李老师的“随风潜入夜，润物细无声”“化抽象为自然”“饿了再吃”等教学理念很值得我学习。作为刚参加工作的年轻教师，我应该在以后的教学中，慢慢向这种教学理念靠拢，使学生在不知不觉中掌握较为抽象的知识。下面这个教案是根据李老师的教学理念为“三本”学生写的，不知是否能达要求，请李老师指教。用矩阵的初等变换求逆矩阵一、问题提出1在前面我们以学习了用公式A1=1AA*求逆矩阵，但当矩阵A的阶数较大时，求A*很繁琐，此方法不实用，因此必须找一种更简单的方法
2、求逆矩阵，那么如何找到一种简单的方法呢？（饿了再吃）二、求逆矩阵方法的推导（“润物细无声”“化抽象为自然”）我们已学习了矩阵初等变换的性质，如1定理2.4对mxn矩阵A，施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。2. 初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵还是初等矩阵。3. 定理2.5的推论A可逆的充要条件为A可表为若干初等矩阵之积。即P-PPAQQ-Q二E,s2112tA二P-1P-1P-1P-1EQ-1Q-1Q-1Q-1ARRR12s-1stt-12112m4推论A可逆，则A可由初等行变换化为单位矩阵。R-1R-1R-
3、1A二Em21R-1R-1R-1二A-1（1）m21由矩阵初等变换的这些性质可知，若A可逆，构造分块矩阵（丨），其中E为与A同阶的单位矩阵，那么A-1由（）式A-1二R-1R-1R-1代入（2）式左边，A-1）A-1A|E）=（A-1AA-1EmR-1R-1R-1m21上式说明分块矩阵（丨）经过初等行变换，原来A的位置变换为单位阵E，原来E的位置A-1nx2n变换为我们所要求的A-1,即AIEnx2n1.求逆矩阵方法的应用之一例(1设A_1三，讲解例题设211-1-2,4521k1-111丿解：（1-21-21002-145010(A|E)4121001k1-111000(1-2-1-2100
4、0，0000110-330969-4010k0123-1001丿40、(1-2-1-21000、00369-2100030969-40101丿k0123-1001丿*11。丿2100,(11210r+r0-120010亠303211r-r1丿113001丿311001-100,求A-i。解：（AIE）(11030-2r3311030-2，030313010113-231001-101丿0k01-101丿r2r13r2r231002-13-4,3（2-13-4,3010113-23A-1113-23001-101-101k丿rr1厶四，知识拓展2求逆矩阵方法的应用之二利用矩阵的初等行变换也可以判
5、断一个矩阵是否可逆，即分块矩阵（丨）经过初等行变换，原来A的位置不能变换为单位阵E,那么A不可逆。而上面分块矩阵的第一块第二行全为零，它不可能变换为单位矩阵，所以A不可逆。3求逆矩阵方法的应用之三利用矩阵初等行变换解矩阵方程（“润物细无声”）对一般的矩阵方程AX=B求解，我们可以先求A-1，然后求X=A-1B。现在我们介绍另外一种方法求矩阵方程。其实在推导求逆矩阵方法的过程就是求解矩阵方程的过程，因为求Ai就是求解矩阵方E)中的E换成B,程AX=E的解，而对一般的矩阵方程AX=B只要将用初等行变换，即CA|B)n2nA-iB)n2n然后利例ri23r25设A二221，B=31，若AX=B,求X。343丿43丿解：r12325q2325r10-21-4、(A|B)=22131T0-2-5-1-9T0-2-5-1-934343J0-2-6-2-12?00-1-1-3丿其中的A-1B即为所求矩阵方程AX=B的X。rr1rr00032、rr1rr00032、r32、T-2046T10-2-3nX=A-1B=rr-2-3I00-1-1-3JI00113J五、小结1矩阵初等行变换：求逆、判断矩阵是否可逆、解矩阵方程思考：若，如何用初等变换法求贺建辉2007-11-21
