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1、二项式定理【高考导航】二项式定理在高考中每年一道题，题型为以下几种：求展开式某一项或某一项的系数；求所有项系数的和或者奇数项、偶数项系数和；二项式某一项为字母，求这个字母的值；求近似值的问题.试题难度不大，与教材习题相当.因此，二项式定理一节内容的学习或复习要重视基础，对二项式定理的展开式、通项公式、二项式系数的性质等弄清原理，熟练掌握，不必追求难解题.【学法点拨】本节内容是初中所学多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式二项式乘方的展开式，是培养观察，归纳能力的好题材，二项式定理是以公式形式表现二项式的正整数幂的展开式在指数、项数、系数等方面内在联系的重要定理，应在(ab)2、(ab)
2、2、（ab）2的展开式的了解基础上，归纳掌握好二项式定理.通项公式TC(r0，1，2，n)集中体现了二项式展开式中的指数、项数、系数的变化，是二项式定理的核心它是求展开式的某些项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）以及系数的重要公式.二项式系数C(r0，1，2，n)是一组仅与二项式的次数n有关的n1个组合数，而与a、b无关，它不包括a、b本身（或a、b的某次幂）的系数.只有当求某指定项的系数时，才包括a、b的系数，称展开式中的某一项的系数，当二项式两项本身的系数都是1时，展开式的二项式系数就是展开式各项的系数，但当二项式的两项本身的系数不为1时，这两者就不同了，要在把握概
3、念的基础上掌握好二项式系数的性质及应用.【基础知识必备】一、必记知识精选1.二项式定理：(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN*)2.通项公式：Tr1Canrbr3.二项式系数性质：(1)距两端等距离的二项式系数相等，即CC.(2)二项式系数的中间项或中间两项的二项式系数最大.当n为偶数时，中间一项（即第1项）的二项式系数最大;当n为奇数时，中间两项（即第和第1项）的二项式系数最大.(3)在二项展开式中各项的二项式系数和为2n，即：CCCC2n.(4)在二项展开式中，奇数项二项式系数的和等于偶数项二项式系数的和，都等于2n1，即CCCCCC2n1.二、重点难点突破掌握二项式定理及其
4、通项公式是本节的重点，会求二项展开式、展开式的中间项等指定项，会求二项式系数，指定项系数等.这些都是二项式定理的灵活运用，是本节的难点.突破难点的关键是准确熟练地写出二项展开式及通项公式.(ab)n的展开式具有如下性质：1.展开式的项数：共n1项.2.展开式的每一项的指数：a与b的指数之和为n，即二项展开式各项的次数等于二项式的次数n，字母a的指数依次降幂排列，指数由n逐次减1直到0，字母b按升幂排列，指数从0起逐项加1到n.3.二项式系数的特征：每一项的系数为一组合数，第r1项的系数为C.学习二项式定理时，还应注意：1.二项式定理从左到右的使用为展开，从右到左的使用可以化简、求和和证明.这个
5、公式的逆用功能不可忽视.2.对于通项公式是相对于(ab)n标准形式而言的，对于(ab)n的展开式的通项Tr1(1)rCanrbr，它是第r1项而不是第r项，公式中的a，b位置不能颠倒.利用通项公式可求展开式的特定项.3.应用二项式定理时，要有目标意识，同时要处理好“一般”与“特殊”的关系，注意变形的技巧以及等价转化的数学思想方法.三、易错点和易忽略点导析本节易错点是在审题时，观察不仔细，不能发现差异，或将二项式系数与某项系数混淆，现举例说明.【例1】如果(12x)7a0a1xa2x2a7x7，那么a1a2a7的值等于（）A.2 B.1 C.0D.2错解：令f(x)(12x)7，则f(1)(12
6、)7a0a1a71.选择B.正确解法：令f(x)(12x)7，则f(1)(12)7a0a1a7f(1)1.又令xO，得a01.a1a2a71a02.故选A.错解分析：错因在于审题失误，未注意到式子a1a2a7中没有a0，致使赋值x1后便认为是所求，因此，解此类问题要仔细观察，克服粗心大意.【例2】求CCCC的值.错解：原式211.正确解法：CCC211C204812047.错解分析：忽略了二项式系数的和是指CCCC2n，或者是审题未发现缺少C而出现失误.【例3】 求(x1)5展开式中的常数项.错解：(x1)5(x)15，展开式的通项为Tr1C(x)5r(1)r，而(x)5r的展开式中的通项为T
7、k1Cx5rk()kCx5r2k.欲求常数项，令5r2k0，即r2k5且0r5，0k5r.有三组解或或所求常数项为CC(1)，CC(1)3和CC(1)5，即30，20和1.正确解法一：（x1）5(x)15，通项为Tr1C(x)5r(1)r（0r5）当r5时，T6C(1)51；当0r5时，(x)5r的通项为Tk1Cx5rk()kCx5r2k(0k5r).0r5，且rZ.r只能取1或3相应的k值分别为2或1.常数项为CC(1)CC(3)3(1)51.正确解法二：由于本题只有5次，也可以直接展开，即(x)15(x)55(x)410(x)310(x)25(x)1.由x；的对称性知，只有在x的偶数次幂中
8、的展开式中才会出现常数项且是各自的中间项，常数项为5C10C51.正确解法三：(x1)5(x1)(x1)(x1)(x1)(x1).按多项式乘法的规律，常数可从五个因式中都选取1相乘为(1)5;或从五个因式中选定一因式中取x，一因式取，另三个因式中取(1)，为CC(1)3;或从五个因式某二因式中取x，另二因式中取，余下一个因式中取1，所得式为CC(1)，所以常数项为(1)5 CC(1)3CC(1)51.错解分析：错解一是出现了C这个无意义的数，原因是解题不严密造成的，在考虑(x)5r的展开式时，用的是二项式定理，但没有注意到二项式定理只对nN*适用.当r5时，5r0，此特殊情况应特殊处理.二是概
9、念的理解错误，同一展开式只能有一个常数项，不可能有两个或多个常数项.【综合应用创新思维点拨】一、学科内综合思维点拨二项式定理经常与数列、不等式以及极限等知识综合组题.【例1】 已知(xx)n的展开式中第5、6、7项的系数依次成等差数列，求展开式中的常数项.思维入门指导：第5、6、7项的系数就是此三项的二项式系数，由此可求出次数n的值.解：第5、6、7项的系数分别为C、C、C，依题意有2CCC(n6)，即2.所以，n221n980.n7或n14.(1)当n7时，设展开式中的常数项为Tr1，则Tr1C(x)7rxrCx.令7r280，得r4.所以T5C35.(2)当n14时，仿上可得T9C3003
10、.综上，当n7时，常数项为35，当n14时，常数项为3003.点拨：对幂指数未知的二项式中求特定项的问题，一般要由题设先求出n值，然后再求特定项.在求特定项时，往往利用通项公式将问题转化为解方程或不等式组来求出r值.【例2】 求证：对nN，33n26n1可被676整除.证明：当n0时，原式0，可被676整除；当n1时，原式0，也可被676整除；当n2时，原式27n26n1(261)n26n1(26nC26n1C262C261)26n126nC26n1C262上式中每一项都含有262这个因数，故可被262676整除.综上述，对一切自然数，33n26n1可被676整除.点拨：此题n0与n1应单独处
11、理，易被忽略.【例3】 设an1qq2qn1(nN*，q1)，AnCCa2Can.求证：An2n(1q)n.证明：q1，an.AnCa1Ca2CanCCC(CCCC)(CqCq2CqnC)2n(1q)n.点拨：本题逆用了二项式定理及CCC2n，这些重要的数学模型常常运用于解题过程中.二、学科间综合思维点拨【例4】 一个螺旋桨在某种情况下转动，它所消耗的功率P（单位：马力）和螺旋桨的直径D（单位：米）的关系是P6D5，已知D3.11，求P（精确到100马力）.解：D3.11，P6(3.11)56(30.11)5635C340.11C32(0.11)2C(0.11)5.在精确100马力的要求下，第
12、三项及其以后的各项可以略去不计，P635C34O.116(24344.55)1725.3170O，即所消耗功率约为1700马力.点拨：在进行估算求值时，经常使用二项式定理，特别地当h很小、n较大时，（1h）n1nh是工业计算中经常使用的粗算公式.三、应用思维点拨【例5】 某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22，人均粮食占有量比现在提高10.如果人口增长率为1，那么耕地年均每年只能减少多少公顷?(精确到1公顷，粮食单产，人均粮食占有量)解：设耕地平均每年至多减少x公顷，该地区现有人口P人，粮食单产M吨/公顷，依题意有：(110%).解得x10311031(CC0.01C0
13、.012)10311.10454(公顷).答：耕地每年至多只能减少4公顷.点拨：本题应用了指数，二项式定理的基础知识.【例6】 今天是星期天，从今天起22000天后的第一天是星期几?解：22000666644(71)6664(7666C7665C71)28(7665C7664C)4.能被7整除，所以22000被7整除，所以22000被7除余数为4.又因为今天星期天，所以4天后的第一天应为星期五.四、创新思维点拨【例7】已知a、b为正整数，且1，试证明：对每一个nN*，都有(ab)nanbn22n2n1.思维入门指导：本题创新点在于综合性强，要灵活地运用二项式定理的展开式和不等式的均值定理.证明：由1，得xab2，即ab20，ab4.而(ab)nanbnCan1b Can2b2Cabn1Cabn1Ca2bn2Can1bC()C()C()(CCC).将代入得(ab)nanbn(CCC)(11)nCC2n(2n2)2n22n2n1.命题成立.点拨：本题考查了CCCC2n及a、bR时有及逆向思维的数学思想方法.五、高考思维点拨【例8】（2003，河南、江苏，4分）(x2)9展开式中x9的系数是_.解：由通项公式，得Tr1C(x2
