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1、综合质量评估(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的)1. 命题“若x=2，则x23x+2 = 0”的逆否命题是()A. 若 xM2,则 x23x+2工0B. 右 x23x+2 = 0,贝9 x=2C. 若 x23x+2工0,则 xM2D. 若 xM2,则 x23x+2=0解析：逆否命题是“若x2-3x + 2M0，则xM2”.答案： C2. 如果命题pVq为真命题，pNq为假命题，那么()A. 命题p、q都是真命题B. 命题p、q都是假命题C. 命题p、q至少有一个是真命题D. 命
2、题p、q只有一个真命题解析：由命题pVq为真命题，pAq为假命题，则命题p、q 真一假.故选D.答案： D3. 若直线l的方向向量为，平面a的法向量为，则可能使la的是()A. b= (1,0,0), n= ( 2,0,0)B. b=(1,3,5)， n=(1,0,1)C. b=(0,2,1)， n=(1,0，1)D. b=(1，1,3)， n=(0,3,1)解析：若l|a，则bn = 0.将各选项代入，知D选项正确.答案： D4. 命题“若C=90，则AABC是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中，真命题的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 3解析：原命题是真命题其逆命
3、题为“若BC是直角三角形，则C = 90”，这是一 个假命题，因为当ABC为直角三角形时，也可能A或B为直角这样，否命题是假命题，逆否命题是真命题因此，真命题的个数是2.答案：C5. 设m, n是平面a内的两条不同直线,、12是平面B内的两条相交直线，则all B的一个充分而不必要条件是()A. m/B 且 aB. mll1 且 nl2C.m“ 且 n“D.m“ 且 nl2解析：对于选项A ,a ,也可能相交，此时，l ,m都平行于交线，是必要不充分条件； 对于选项B，由于11与12是相交直线，而且由lj|m可得lj|a，同理可得l2|a，故可得a|0 , 充分性成立，而由a|0不一定能得到l
4、|m，它们也可以异面，故必要性不成立，故选项B 符合题意；对于选项C，由于m ,n不一定相交，故是必要不充分条件；对于选项D ,由n|l2可转化为n|0，同选项C，故不符合题意.答案： B6. 以双曲线曽12=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为()A-fl+y2=1B-n+y6=1C-i6+yr=1d普+1|=1解析：由=- 1，得| -Xj2=1./.双曲线的焦点为(0,4). (0 , - 4)，顶点坐标为(0,20, b0)的两个焦点为F、F,若P为其上一点，且IPFI = 2IPF2I,则双曲线离心率的取值范围为()A(1,3)C. (3,+呵00)解析：由题意知在双曲线上存在一点
5、P ,使得IPF1I = 2IPF2I，如图又|PF1I - IPF2I二2a , PF2l = 2a，即在双曲线右支上恒存在点P使得IPF2I = 2a，即IAF2IW2a.IOF2l - IOAI = c -aW2a.cW3a.c又.ca ,.acW3a.1 解析:BD = BF + FE + ED ,.IBD|2 二 IBFI2 + IFEI2 + IEDI2 + 2BF FE + 2FE- ED + 2BFED 二1 + 1 + 1 -迈二 3 -迈，故iBDi=3 - 2.答案： Dx2 y2x2 y210. 双曲线历一占=1与椭圆m2+b2=1(a0，mb0)的离心率互为倒数，那么
6、以a、 b、 m 为边长的三角形一定是()A.锐角三角形B.钝角三角形解析：双曲线的离心率e廿a2 + b2a2m2b2,椭圆的离心率e2=，由已知e2e2 = 1，即m2C.直角三角形D. 等腰三角形a2b2 m2b2a2m2=1 ,化简，得a2 + b2 = m2.：.以a、b、m为边长的三角形为直角三角形.答案： C11. 在正方体ABCD -A1B1C1D1中，直线BC与平面ABD所成角的余弦值为()22A. 4B. 3拝D浮解析： 建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为1，则 D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)， C1(0,1,1).厉=(1,0,1) ,
7、DB = (1,1,0) ,BCX = (- 1,0,1).设平面ABD的法向量为n = (x , y , z),则nDA1 = 0 ,n DB = 0.:0)与双曲线莹一活=10, b0)有相同的焦点F,点A是两曲线的交点，且AF丄x轴，则双曲线的离心率为()B2+1A寻Ca3 + 12 2+1D. 2 -x2解析：如图，由双曲线令.-= 1 ,且 AFx 轴得al - b2= 1 得IyI =号，由抛物线 y2 = 2pxe = 2 + 1.的定义得AF = p ,答案：B二、填空题(本大题共4 小题，每小题4 分，共16分把答案填在题中的横线上)13. 双曲线m2； 1242=1的焦距是
8、解析：依题意 a2 = m2+ 12 , b2 = 4 - m2，所以 c2 = a2 + b2= 16 , c = 4,2c = 8.答案： 814. 过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A, B两点，若IABI = 10，则AB的中点到y轴的距离等于解析：抛物线y2 = 4x的焦点(1,0)，准线为l：x=-1 ,设AB的中点为E ,过A , E , B分别作准线的垂线，垂足分别为C , F , D , EF交纵轴于点H ,如图所示，则由EF为直角梯形的中位线知， IEFI=IACI + IBDI2=亍=5 ,所以EH = EF- 1=5 - 1=4 , 即AB的中点到y 轴的距离等于
9、4.15 .在四棱锥PABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于0, G为BD上一点,BG=2GD, PA=a，PB=b，PC=c，向量PG=解析：因为 BG = 2GD，所以BG = 3bD，又jBD = bA + JBC = PA - pB + PC - PB = a + c -_2 2 12 2b，所以PG = PB + BG = b + 3(a + c - 2b) = 3a - 3b + 3c.答案：16. 有下列命题：双曲线=i与椭圆f|+y2=i有相同的焦点；“ 一2xo” 是“2x25x3v0”的必要不充分条件；若a与b共线，则a, b所在直线平行；若a, b, c三向量两
10、两共面，则a, b, c三向量一定也共面；VxR, x2一3x+3工0.其中正确的命题有. （把你认为正确的命题的序号填在横线上）解析：中，双曲线cf = 25 + 9 = 34，椭圆c2 = 35 - 1 = 34，故正确；中,.2x2 - 5x -30 ,.-2xv3.又-2xv0。- |x3，小范围推出大范围，而大范围推不出小范围，.是 充分而不必要条件，故错；中，a和b所在直线可能重合，故错；中，a，b，c可 以不共面，例如平行六面体以一个顶点为起点引出的三个向量，故错；中,J = 9 - 12 0 ,=m 2.解：当p真时，有1 0当 q 真时，有A2 = 16(m - 2)2 -
11、1601 m 2，又p和q有且仅有一个正确，当p真q假时，有.m三3.、m3 或 mW1.mW2 ,当p假q真时，有.1mW2.I 1 m 0)过点 A(1,2).(1) 求抛物线C的方程，并求其准线方程.(2) 是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线1，使得直线l与抛物线C有公共点，且直 线OA与1的距离等于电5?若存在，求直线1的方程；若不存在，说明理由.解：(1)将 A(1 ,-2)代入 y2 = 2px ,得(-2)2 = 2p1，所以 p = 2.故所求抛物线C的方程为y2 = 4x ,其准线方程为x=- 1.(2)假设存在符合题意的直线1 ,其方程为y=-2x + t.y 二-2
12、x + t ,由得 y2 + 2y - 2t = 0.、y2 二 4x ,因为直线1与抛物线C有公共点，所以A=4 + 8&0，解得& -由直线OA与1的距离d =解得t二1.因为- 1所以符合题意的直线1存在，其方程为2x + y- 1=0.x2 y219. (12分)设行，F2为椭圆36+話=1的两个焦点，P是椭圆上一点，已知P，行，F2 是一个直角三角形的三个顶点，且IPF1IIPF2I.(1)求IPFI的长度.IPF |(2 )求丁的值.iPFj2解：(1)若上PF2F 是直角，则IPFJ2 = IPF2I2 + IF1F2|2,即 IPFJ2 = (12 - IPFJ)2 + 80，得IPF1I = 28 ,若/FPF2 是直角，则IPFJ2
