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1、利用MATLAB模拟点电荷电势的分布一、原理根据库仑定律：在真空中，两个静止点电荷之间的作用力与这两个电荷的电量乘 积成正比，与它们之间距离的平方成反比，作用力的方向在两个电荷的连线上，两电荷同号为斥力，异号为吸引力，它们之间的力F满足：F = kQiQ2R （式1）R2由电场强度E的定义可知：E = kQR （式2）R 2对于点电荷，根据场论基础中的定义，有势场E的势函数为U = kQ （式3）R在MATLAB中，由以上公式算出各点的电势U，可以用MATLAB自带的库函 数绘出相应的电势分布情况。二、MATLAB基本语法（一）标识符与数 标识符是标志变量名、常量名、函数名和文件名的字符串的总
2、称。（二）矩阵及其元素的赋值赋值就是把数赋予代表常量或变量的标识符。MATLAB中的变量或常量都代表 矩阵，标量应看作1X1价的矩阵。赋值语句的一般形式为 变量=表达式（或数）列如，输入语句a=1 2 3;4 5 6;7 8 9则显示结果为a=1 2 34 5 67 8 9输入 x=1 2 3 4 5 6 7 8 9结果为x= 1 2 3 4 5 6 7 8 9可以看出，矩阵的值放在方括号中，同一行中各元素之间以逗号或空格分开，不同行的元素以分号隔开。语句的结尾可用回车或逗号“，”，此时会立即显示运算 结果；如果不希望显示结果，就以分号“；”结尾再回车，此时运算仍然执行， 只是不作显示。变量的
3、元素用圆括号“()”中的数字(也称为下标)来注明，一维矩阵(也称数 组)中的元素用一个下标表示，二维矩阵可有两个下标数，以逗号分开。在 MATLAB中可以单独给元素赋值，例如，a(2,3)=6,x(2)=2等。(三) 元素群运算把nXm矩阵中的每个元素当作对象，成群地执行某种运算，称为元素群运算。 元素群运算能大大简化编程，提高运算的效率，这是MATLAB优于其它许多语 言的一个特色。1、数组及其赋值数组通常是指单行或单列的矩阵，一个N阶数组就是1XN或NX1阶矩阵。N 阶数组可以表示N维向量。在求某些函数值或曲线时，常常要设定自变量的一系列值，例如，设间隔n在x 轴上从-3到3之间，每隔1取
4、一个点，共7个点，这是1X7阶的数组。如果逐 点给它赋值，将非常麻烦。MATLAB提供了两种给等间隔数组赋值的简易方法。(1) 用两个冒号组成等增量语句，其格式为x=初值：增量：终值。例如，键 入x=-3： 1： 3得 x=-3 -2 -1 0 1 2 3当然增量为1时，这个增量值是可以略去的。(2) linspace函数表述等距离分割，其格式为x=linspace(初值，终值，点数)。 例如键入x=linspace(-3,3,7)得 x=-3 -2 -1 0 1 2 3在x轴上-3和3实际上是一个点，所以这个命令是把x轴分为7份。第三个变元 也可以不写，此时取默认值100.2、元素群的四则运
5、算和幂次运算 元素群运算也就是单个元素之间的运算。为了与矩阵作为整体的运算符号相区 别，要在运算符“*”、“/”、“”、“人”前加一个点符号，以表示进行元素群运算。矩阵的加减法本来就是对元素进行的，故不再有元素群运算符。参与元素群 运算的两个矩阵必须是同价的(标量除外)。下列的例子可以说明利用元素群运算的优越性。例如，要求列出一个三角函数表。这在 MATLAB 中只要一下两个语句键入 x=0：0.1：pi/4;x, sin(x), cos(x), tan(x)第一条语句把数组 x 赋值，经转置后成为一个列向量。因为 sin, cos,tan 函数都对 元素群有效，得出的都是同阶的列向量。第二条
6、语句把 4个列向量组成一个矩阵，进行显示。得00l.000000.l0000.09980.99500.l0030.20000.l9870.980l0.20270.30000.29550.95530.30930.40000.38940.92ll0.42280.50000.47940.87760.54630.60000.56460.82530.684l0.70000.64420.76480.8432第一列是 x，以下各列依次是 sin(x), cos(x), tan(x)。for 语句for 语句的结构形式为for k=初值：增量：终值语句组A, end即它把语句组A反复执行N次。在每次执行时程序
7、中k值不同。可以算出循环 次数为N=l+ (终值一初值)/增量用 for 语句求三角函数表的程序为for x=0： 0.l ： pi/4disp(x, sin(x), cos(x), tan(x);end所得结果将和上个例题中的答案相同。可以看出， MATLAB 的元素群运算功能 与一个for循环相当，由于它不需要每次检验表达式，运算速度比for语句快得多。for语句可以嵌套使用。四、MATLAB现用函数介绍MATLAB语言的难点是函数较多，仅基本部分就有700多个，其中常用的近200 个，要尽量多记少查，以提高编程效率，而且这是终生受益的。1、线型分隔函数linspace (-xm,xm，
8、n)：在-xm与xm之间均分地产生n个点值，形成lXn元向量。其中-xm是初值，xm是终值，n是点数。2、两个变量的标量指令X,Y=meshgrid(x,y)：将向量x,y变换为数组X,Y, 这样就可以将两个一维向量生成两个二维矩阵。其中，数组X的各行是向量x的 拷贝，总行数为y向量的元素个数；数组Y的各列是向量y的拷贝，总列数为x向 量的元素个数。例如 x=-3:3;y=1:5;2 223 334 445 55Z=(X+Y).A2Z= 4101 010142 2 2 23 3334 4 4 45 5 5 51 4 9 164 9 16 259 16 25 36X,Y=meshgrid(x,y
9、)X=-3-2-10123-3-2-10123-3-2-10123-3-2-10123-3-2-10123Y= 111111114936493、二维空间中绘制等高线函数contour(X,Y,U,u)：就是挑选出电势相等的 点，并在向量u指定的值上绘制等高线。注意u取值要恰当。四、编程1.画单个点电荷的平面电场线与等势线clear %清除变量E0=8.85e-12; %真空电介质常数C0=1/4/pi/E0; %归并常数q=1.6*10A(-19); % 元电荷电量xm=2.5; %横坐标范围ym=2; % 纵坐标范围x=linspace(-xm,xm); %横坐标向量y=linspace(-
10、ym,ym); %纵坐标向量X,Y=meshgrid(x,y); %设置坐标网点R=sqrt(X.A2+Y.A2); %点电荷到场点的距离U=C0*q./R; %计算电势u=1e-9:0.5e-9:5e-9; %等电势的电势向量figure %创建图形窗口contour(X,Y,U,u) %画等高线hold on %保持图形plot(0,0,o,markersize,12) %画点电荷axis equal tight %使坐标刻度相等 title(单个点电荷的平面电场线与等势线，fontsize,20) %显示标题 xlabel(r,fontsize,16) % 显示横坐标ylabel(E(U
11、), fontsize,16) %显示纵坐标单个点电荷的平血电场线与等势线2.画一对点电荷对的电场线和等势线clear %清除变量E0=8.85e-12; %真空电介质常数C0=1/4/pi/E0; %归并常数 q=1.6*10A(-19); % 元电荷电量 a=1; %电量比xm=2.5; %横坐标范围ym=2; %纵坐标范围 x=linspace(-xm,xm); % 横坐标向量y=linspace(-ym,ym); % 纵坐标向量X,Y=meshgrid(x,y); %设置坐标网点Rl = sqrt(X+1).人2+Y/2); %第一个正电荷到场点的距离R2 = sqrt(X-1).人2
12、+Y/2); %第二个正电荷到场点的距离U=C0*q./R1+C0*q./R2; %计算电势u=1e-9:0.5e-9:5e-9; %等电势的电势向量figure %创建图形窗口contour(X,Y,U,u) 画等势线grid on %加网格legend(num2str(u) %图例hold on %保持图像plot(-1,0,o,markersize,12) %画第一个正电荷 plot(1,0,o,markersize,12) %画第二个正电荷 axis equal tight %使坐标刻度相等% 显示标题%电荷比文本title(等量同号点电荷的电场线和等势线,fontsize ,2 xl
13、abel(r,fontsize,16) %显示横坐标 ylabel(E(U),fontsize,16) %显示纵坐标txt=pQEE:itQrm 2/itQrm 1= num2str(a) text(-xm,-ym-0.3,txt,fontsize,16) %显示电荷比电荷I;勺电场线和竽势线2 5-065-150.522.51 h1 5I e-OCD 12e-0C9 2.G5-30S3e-0C9 3.53-JOE4e-0CD5e-009DLLJ1-1.5-1匕:k荷ii下列的例子可以说明利用元素群运算的优越性。例如，要求列出一个三角函数表。这在MATLAB中只要一下两个语句键入 x=0：0.
14、1：pi/4;x, sin(x), cos(x), tan(x)第一条语句把数组 x 赋值，经转置后成为一个列向量。因为 sin, cos,tan函数都对元素群有效，得出的都是同阶的列向量。第二条语句把 4 个列向量组成一个矩阵，进行显示。得001.000000.10000.09980.99500.10030.20000.19870.98010.20270.30000.29550.95530.30930.40000.38940.92110.42280.50000.47940.87760.54630.60000.56460.82530.68410.70000.64420.76480.8432第一列是x,以下各列依次是sin(x), cos(x), tan(x)。for 语句for 语句的结构形式为for k=初值：增量：终值语句组A， end即它把语句组 A 反复执行 N 次。在每次执行时程序中 k 值不同。可以算出循环次数为N=l+ (终值一初值)/增量
