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1、微分中值定理探讨及应用摘 要：本文首先主要介绍了微分中值立理的内容及英预备定理，再讨论微分中值左理 之间 的联系，以及左理从有限区间到无限区间的推广，最后以具体实例说明微分中值立理在 等式、不 等式的证明、极限的求解问题、方程根的存在性等解题中的应用。在微分中值泄理 的研究及有关 命题的证明之中，往往需要构造适当的辅助函数，来实现数学问题的等价转化。 然而如何寻找到 合适的函数是比较困难的，在本文中，通过三个定理的证明及有关例题会着 重给出通过构造辅 助函数来解决中值左理问题。关键词：微分中值立理：罗尔中值左理：拉格朗日中值圧理：柯西中值左理；联系； 应用Abstract: Firstly,
2、the paper introduces three differential mean value theorems and the preparation theorem for them, then discusses the connection between the three theorems, and generalizes the theorems from limited interval to infinite interval At the end of this paper we use a series of examples, such as: the provi
3、ng of the equality or inequality, the computing of the limit, the existence of the equation root and so on, to explain the application of the differential mean value theorems In the research of differential mean value theorem and the related propositions. We often need construct a suitable auxiliary
4、 function to make the problem satisfies the conditions of the differential mean value theorem but it is difficult to construct the auxiliary function .In this paper, well focus on how to construct the suitable auxiliary function to solving the problem by using differential mean value theorem.Key wor
5、ds: Differential mean value theorem; Rolle mean value theorem; the Lagrange mean value theorem; the Cauchy mean value theorem; connection; application通过数学分析的学习，我们知道微分中值定理是一个非常重要的基本定理， 其主要包括罗 尔(Rolle)中值定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理等一系列基本定理。 微分中值定理是沟通函数与其导数之间的桥梁，是 讨论怎样山函数的导数的已知性质来推断函 数所具有的性质的重要
6、的数学工具。 对于整块微积分的学习，中值定理在所有的定理中是最基 本的定理，也是构成数 学分析理论基础知识的一项非常重要的内容。因为其不仅揭示了函数整 体与局部 的关系，而且也是微分学理论应用的基础。1 微分中值定理的内容、证明过程及联系1. 1罗尔(Rolle)中值定理山1.1.1罗尔定理若函数.f(x )满足如下条件：(i) /在闭区间上连续；(ii) .f(x)在开区间(a,b)上可导；(iii) =则在上(a,b)至少存在一点 ,使得八纟)=01. 1.2罗尔定理的证明证因为/在上连续，所以有最大值与最小值，分别用M、川 表示，现在分两种情况讨论：若=M，则广匕)在eb上必为常数，从而
7、结论显然成立。若mM，则因f (a) = f(b),使得最大值M与最小值加至少有一个在(讪上的某点纟是/W的极值点。由条件(ii), f(x)在点纟处可导，故由费马定理知/(纟)=0.1.1.3罗尔定理的几何意义 在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少 存在一条水平切线。1.2拉格朗日(Lagrange)中值定理山1.2.1拉格朗日中值若函数/Cr)满足如下条件：(i)/在闭区间a,b上连续；(ii) /(兀)在开区间(a,b)上可导；则在(a,b)上至少存在一点f ,使得b-a显然，当f (a) = f(b)时，此结论为拉格朗日中值定理的一种特殊的情况。1.2.2拉
8、格朗日中值定理的证明证作辅助函数F(Q = /W-f(a)(x a)b-a其中弘)二恥)=0,且在F(x )在上上满足罗尔定理的其他的两个条件，所以3 e ab)、StF)二 f()=0. b-a则可以证明在(aE)上至少存在一点纟，使得 心世严b-a1.2.3拉格朗日中值定理的几何意义在满足定理条件的曲线y = /(M上至少存在一点，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线。1.3柯西(Cauchy)中值定理山P(gJ)1.3.1柯西中值定理设函数/(x)和g(x)满足在闭区间匕“上都连续；(ii)在开区间(ad)上都可导；(iii) f W和g(Q不同时为0;(iv)3 (A e (a.
9、b).S.t.g() g(b) - g(a)g(d)Hge)1.3.2柯西中值定理的证明证作辅助函数/一/(g(x)-g(a)易F(x)见在a，切上满足罗尔定理条件，故曲e(a,b),使得g(b) - g(a)因为g)H0,所以g () g( )一 g(d)1.3.3柯西中值定理的几何意义满足定理条件的由u二g(xv = f(x所确定的曲线上至少有一点，曲线的切线平行两端点 连线。1.4微分中值定理之间的联系 罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，三个定理的儿何意义有 一个共同点 在满足定理条件的函数曲线上至少有一点的切线平行于曲线在区间 上两端点的连线。在三个微分中值定理之中，我们可
10、以发现，罗尔定理是拉格朗日中值定理的 特例，拉格 朗日中值定理是罗尔定理的推广；拉格朗日中值定理乂是柯西中值定 理的特例。因为，在罗尔 定理中删掉条件f (a) = f(b),即得到拉格朗日中值定理，在拉格朗日中值定理中增加 则可以得 到罗尔定理；在柯西中值定理中令得到拉格朗日中值定。gM = x.总之，这三个中值定理既相互独立乂相互联系。其中，拉格朗日中值定理是 核心，罗尔定 理是特殊情况，柯西定理是推广。2 微分中值定理的推广罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，这三个定理都要求函数/匕)在切上 是连续，在(亿“)内部是可导的。若我们把定理中的有限闭区间血推广到无限区间(-00,+
11、00) 或心3)；再把有限开区间(a,历推广到无限区间(-s,+s)或(a,+s)的话，那么上面的那 些定理是否还是成立的，若不成立，是否 可以得出新的结论，乂可以得出哪些结论？通过学习与研究，我们知道，中值定理推广到无限区间可以得到儿个相应的定理，本文在此只提到其中的三个，下面是给岀的定理及证明。定理2.1若/在,48)上连续，在(aS内可导，且则至少存在一点歹e (d,+s)，使即可以得到关于函数当 xw“, + 時)贝 iJre(O,l,即何 1) = alim 做)=+*lin? g=li 巴 /(0(f) = lim f(x)= f(a)=/(A(l) = g(l)又g(O) = l
12、ijjg(/).ATO所以 g(O) = g(l).所以在g(/)在0,1上连续，在内(0,1)可导，且g(O) = g(l).由罗尔定理可得至少有一点已(0,1),使得g() = 0.令纟=0(),有/()0()= 0,而0()= 所以，至少存在一点e(d,+s),使得f() = 0.定理2. 2在砧8)上连续，在(-00,+00)内可导，并且lim f(x) = lim f(x) A-oc至少存在一点(-s,+s)，使得注 定理2. 2的证明可以参照定理2.1.定理2. 3若/(x)在k，*o)上连续，在站8)内可导，并且limf (x) = mX-rfD则至少存在一点纟已(d,+S),使
13、得/ -(歹 + 1-*证令一1=r,则 = +a-l.x-a+ t即可以得到关于t的参数函数(pit) = _ + a _ 1当 xwa,+s)时，贝 iJre(0,1再令所以li0g(l)=limm M)t) = lim f(x) = m.V-KC乂因为g(0) =吧 gg.所以g）在0,1上连续，在（0,1）内可导，由拉格朗日中值定理得，至少存在一点0 （0,1乂使g )= g(D-g()1-0g ) = /()-心令 = W 有 g (刃=/ ()0 (),而0()= _丄=_( + 1_0)2,-至少存在一点4 e (67,4-00)，使得m-f(a)忆+ 1F3 微分中值定理的应用
14、我们知道微分中值定理有着非常广泛的应用，其常用来证明可导函数的某些等式与不等式判断可导函数在给定区间内根的存在性及根的个数、证明函数在 区间上的某些整体性质，如单 调性、有界性、一致连续性、零点等。现在我们来 用具体的实例来说明微分中值定理的具体运 用。3. 1利用定理证明方程根(零点)的存在性例3汁】设/(切在【切上非负且三阶可导，方程/(x) = 0,在(恥)内有两个不同实根，证明：存在使厂证设在小)内两个不同的实根为西尤2，即/(A) = /(A2)= o-由罗尔定理，存在ceix.x.),使得/(c) = 0. 因为/(x)0,从而召，召为/(切的极小值点，由费马定理:.f(x) =
15、fx) = 0.由、(2)对fa)在kdkg上使用罗尔定理，则存在X3 (XPC), X 4 e (c,x2),= f (x4) = 0.再一次对八X)在氐xj上使用罗尔定理，3Ae(x3,x4)cz ,b),彳好() = 0.例3.2【习设/在上有三阶导数，试证：#e(ab),S F.f(b) = f (a)+ 八(ba)(f(a)+f(b)+八(bd)证令M满足fW =+fb)+,ba)M.(3)再作辅助函数则F(d) = F(ft)=O ,由罗尔定理存在再e(a,b),使得0 = F(州)= /(召)/ (“)_ (兀一 )于(召)+ 扌(x_ “)2 M.所以f (“)= / U1) + / (西)(d X) + f (x -aM.x 再由泰勒公式* w(a,xju(de),
