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1、概率论与数理统计习题第五章 大数定律及中心极限定理习题5-1 据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的。求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。解：设第i只寿命为Xi，（1i16），故E (Xi )=100，D (Xi )=1002(l=1,2,16).依本章定理1知 从而习题5-2 设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg ,问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少？解设Xi表示第i只零件的重量, 则E(Xi)=0.5, D(Xi)=0.01. 于
2、是5000只零件的总重量X=, 所以由独立同分布中心极限定理知, =1-0.921=0.079.习题5-3 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m，现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m的概率是多少？解设100根中有X根短于3m，则XB（100，0.2）从而 习题5-4（1）一复杂的系统由100个相互独立起作用的部件所组成.在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10 ,为了使整个系统起作用，至少必须有85个部件正常工作，求整个系统起作用的概率.（2）一复杂的系统由个相互独立起作用的部件所组成.每个部件的可靠性为0.90，且必须至少有80%的部件工作才能使整个系
3、统正常工作，问至少为多大才能使系统的可靠性不低于0.95？解：（2）设每个部件为Xi (i=1,2,n)P Xi=1=p=0.9, P Xi=0=1p=0.1E (Xi ) =p=0.9,D (Xi ) =0.90.1=0.09由问题知求n=?而=1由中心极限定理知=查标准正态分布表得解得n24.35取n=25，即n至少为25才能使系统可靠性为0.95.习题5-5 随机地选取两组学生，每组80人，分别在两个实验室里测量某种化合物的pH值.各人测量的结果是随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为5，方差为0.3，以分别表示第一组和第二组所得结果的算术平均：（1）求；（2）求（1）求P 4.9（2）解：由中心极限定理知N (0,1)N (0,1)（1） （2）由Xi , Yj的相互独立性知独立。从而U，V独立。于是UVN (0, 2)而 =20.87491=0.7498习题5-6 某种电子器件的寿命（小时）具有数学期望（未知），方差为了估计，随机地取只这种器件，在时刻投入测试（设测试是相互独立的）直到失败，测得其寿命为，以作为的估计.为了使，问至少为多少？解：由中心极限定理知，当n很大时 = 所以查标准正态分布表知即n至少取1537。4
