新版高考数学理分类汇编:第10章圆锥曲线2双曲线及其性质含答案解析

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1、 1 1第2节 双曲线及其性质题型116 双曲线的定义与标准方程1.(20xx江西理14)抛物线的焦点为,其准线与双曲线相交于两点,若为等边三角形,则 2.(20xx陕西理11) 双曲线的离心率为,则等于 .3(20xx广东理7)已知中心在原点的双曲线的右焦点为,离心率等于,在双曲线的方程是( ).A B C D4.(20xx 天津理 5)已知双曲线的一条渐近线平行于直线:,双曲线的一个焦点在直线上,则双曲线的方程为().A. B.C. D.5.(20xx 广东理 4)若实数满足则曲线与曲线的( ).A.焦距相等 B.实半轴长相等 C. 虚半轴长相等 D.离心率相等6.(20xx 北京理 11

2、)设双曲线经过点,且与具有相同渐近线,则的方程为_;渐近线方程为_.7.(20xx福建理3)若双曲线 的左、右焦点分别为,点在双曲线上,且,则( ).A11B9 C5D37解析由双曲线定义得,即,得故选B8.(20xx广东理7)已知双曲线的离心率,且其右焦点为,则双曲线的方程为( ).A B C D8解析 因为所求双曲线的右焦点为,且离心率为,所以,所以,所以所求双曲线方程为.故选C9.(20xx天津理6)已知双曲线 的一条渐近线过点 ,且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上,则双曲线的方程为( ).A B C D9解析 双曲线的渐近线方程为,由点在渐近线上,所以,双曲线的一个焦点在抛物线准线方程

3、上,所以,由此可解得,所以双曲线方程为.故选D.10.(20xx江苏3)在平面直角坐标系中,双曲线的焦距是 10. 解析 ,故焦距为11.(20xx全国乙理5)已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为,则的取值范围是( ).A. B. C. D.11. A 解析 由表示双曲线,则,得,所以焦距,得,因此.故选A.12.(20xx天津理6)已知双曲线,以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于,四点,四边形的面积为,则双曲线的方程为( ).A. B. C. D.12. D 解析 根据对称性,不妨设在第一象限,联立,得.所以,得.故双曲线的方程为.故选D.13.(20

4、xx北京理13)双曲线的渐近线为正方形的边,所在的直线,点为该双曲线的焦点.若正方形的边长为,则_.13. 解析 可得双曲线C的渐近线方程为,所以.再由正方形的边长为,得其对角线的长,所以,解得.14.(20xx北京理9)若双曲线的离心率为,则实数_.14. 解析 由题知,则.15.(20xx天津理5)已知双曲线的左焦点为,离心率为.若经过点和点两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( ).A. B. C. D.15.解析 由题意得,所以.又因为,所以,则双曲线方程为.故选B.16.(20xx全国3卷理科5)已知双曲线的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点,则的方程为( ).AB

5、CD16解析 因为双曲线的一条渐近线方程为,则 又因为椭圆与双曲线有公共焦点,易知,则 由,,解得,则双曲线的方程为.故选B.题型117 双曲线的渐近线1.(20xx江苏3)双曲线的两条渐近线的方程为 .2(20xx四川理6)抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是( )A. B. C. D.3. (20xx福建理3)双曲线的顶点到渐近线的距离等于( ).A. B. C. D. 4.(20xx 新课标1理4)已知是双曲线:的一个焦点,则点到的一条渐近线的距离为( ).A. B. C. D. 5.(20xx 山东理 10)已知,椭圆的方程为,双曲线的方程为,与的离心率之积为,则的渐近线方程为( ).

6、A. B. C. D.6.(20xx 北京理 11)设双曲线经过点,且与具有相同渐近线,则的方程为_;渐近线方程为_.7.(20xx安徽理4)下列双曲线中,焦点在轴上且渐近线方程为的是( ).A B C D7. 解析 由题可得选项A,C的渐近线方程都为,但选项A的焦点在轴上故选C8.(20xx北京理10)已知双曲线的一条渐近线为,则 .8. 解析 依题意,双曲线的渐近线方程为,则,得.9.(20xx江苏12)在平面直角坐标系中,为双曲线右支上的一个动点若点到直线的距离大于恒成立,则实数的最大值为 9. 解析 找到到直线的最小距离(或取不到),该值即为实数的最大值由双曲线的渐近线为,易知与平行,

7、因此该两平行线间的距离即为最小距离(且无法达到),故实数的最大值为10.(20xx四川理5)过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于两点,则( ).A. B. C. 6D. 10. 解析 由题意可得,故.所以渐近线的方程为.将代入渐近线方程,得.则.故选D.11.(20xx浙江理9)双曲线的焦距是 ,渐近线方程是 11. 解析 因为,所以焦距是,渐近线方程为.12.(20xx重庆理10)设双曲线的右焦点为,右顶点为,过作的垂线与双曲线交于,两点,过,分别作,的垂线,两垂线交于点.若到直线的距离小于,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( ).A. B. C. D. 12. 解

8、析 根据题意知点一定在轴上,所以点到直线的距离为,由图知,又因为,所以,解出,所以,根据实际情况,所以故选A13.(20xx上海理21(1)双曲线的左、右焦点分别为,直线过且与双曲线交于,两点.若的倾斜角为,是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;13.解析 (1)由已知,不妨取,则,由题意,又,所以,即,解得,因此渐近线方程为14.(20xx江苏08)在平面直角坐标系中,双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点,其焦点是,则四边形的面积是 14.解析 双曲线的渐近线方程为,而右准线为,所以,从而故填15.(20xx山东理14).在平面直角坐标系中,双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点,若,则该双

9、曲线的渐近线方程为 .15. 解析 设,由题意得.又,所以,从而双曲线的渐近线方程为.题型118 双曲线离心率的值及取值范围1(20xx湖南理14)设是双曲线的两个焦点,是上一点,若 且的最小内角为,则的离心率为_.2.(20xx浙江理9)如图,是椭圆与双曲线的公共焦点,分别是,在第二.四象限的公共点.若四边形为矩形,则的离心率是A. B. C. D.3(20xx湖北理5)已知,则双曲线与 的( ). A 实轴长相等 B虚轴长相等 C焦距相等 D离心率相等4.(20xx 重庆理 8)设分别为双曲线的左、右焦点,双曲线上存在一点使得,则该双曲线的离心率为( ).A. B. C. D. 5.(20

10、xx 湖北理 9)已知是椭圆和双曲线的公共焦点,是它们的一个公共点,且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ).A. B. C.3 D.26.(20xx 浙江理 14)设直线与双曲线两条渐近线分别交于点,若点满足,则该双曲线的离心率是_.7.(20xx湖北理8)将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度,得到离心率为的双曲线,则( ) A对任意的, B当时,;当时, C对任意的, D当时,;当时,7解析 由题意,当时,;当时,.故选D.命题意图 考查双曲线的有关概念、性质及比较实数大小的基本方法8.(20xx湖南理13)设是双曲线的一个焦点,若上存在点,使线段的中点恰为

11、其虚轴的一个端点,则的离心率为 .8. 解析 根据对称性,不妨设,短轴端点为,从而可知点在双曲线上,所以.9.(20xx全国II理11)已知为双曲线的左、右顶点,点在上,为等腰三角形,且顶角为,则的离心率为( )A. B. C. D. 9. 解析 设双曲线方程为,如图所示,由,则过点作轴,垂足为, 在中,故点的坐标为,代入双曲线方程可得,即有,所以.故选D命题意图 在圆锥曲线的考查中,双曲线经常以选择或填空题的形式出现.一般抓住其定义和性质可以求解.本题中要充分利用顶角为的等腰三角形的性质来求解.10.(20xx山东理15)平面直角坐标系中,双曲线的渐近线与抛物线交于点. 若的垂心为的焦点,则的离心率为 .10.解析 由题意,可设所在直线方程为,则所在直线方程为,联立,解得,而抛物线的焦点为的垂心,所以,所以,所以,所以,所以11.(20xx山东理13)已知双曲线,若矩形的四个顶点在上,的中点为的两个焦点,且,则的离心率是_. 11. 解析 由题意,又因为,则,于是点在双曲线上,代入方程,得,再由得的离心率为.12.(20xx全

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