《2019年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2抛物线的简单性质(二)作业2北师大版选修1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2抛物线的简单性质(二)作业2北师大版选修1（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2019高中数学-第二章-圆锥曲线与方程-2.2.2-抛物线的简单性质（二）作业2-北师大版选修1-12.2.2抛物线的简单性质（二）训练案一知能提升A.基础达标1.a等于(抛物线y=ax2+1与直线y = x相切）则A.1B. 4-1C. 2D.1人.y=ax+1),一,解析：选B.由Y消去y整理得y=xaxx+1=0,由题意a#0)=(1)4a=，10.所以a=4.2 .已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=2x4与C交于A,B两点，则cos/AF氏)4 A.53C一53解析：选D.由4D -5 y2=4x5 y=2x-45x=1, y= 一2x=4)y=4.令B(1)2),A(4,
2、4),又F(1)0),所以由两点间距离公式，得|BF=2AF=5AB=345,所以 cos/AFB=|BF2+|AF-fX1此时kAk。片一X1|AB22|BF|AF_4+2545_4=2X2X55.3 .A,B是抛物线x2=y上任意两点（非原点）,当OAOBft小时，OA闻在两条直线的斜率之积koA,kok()11Ab.2C.3D.-3解析：选B.由题意可设A：xi,x2),B(X2,x2)OA=(xi,x2),OB=(X2,x2),OAOB=X1X2+(X1X2)21211区十夕，1,、一一2X2X1X2X212.当且仅当X1X2=2时OAorn得最小值.4.设抛物线C:y2=2px(p0
3、)的焦点为F,点M在C上，|MF=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为()A. y2=4x或y2=8xB. y2=2x或y2=8xC. y2=4x或y2=16xD. y2=2x或y2=16x解析：选C.设M,y。，A(0,2),MF的中点为N22p由y=2px,F(20),X0+p所以N点的坐标为(丁2,).由抛物线的定义知，Xo+p=5,所以Xo=5-2.所以yo=2P(5p).|MF5225所以|AN=l2rL=2,所以|AN2=25.Xo*P+22yo225所以(j+(g-2)2=Z.即2_25了整理得p210p+16=0.解得p=2或p=8.所以抛物线方程为y2=4x或y
4、2=16x.5.已知抛物线C的方程为x2=2y,过点A0,1）和点B（t,3）的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（）A.（8）-1）U（1,+OO）b.（巴金）u（y,+8）C.（-巴-2啦）口（2啦,+oo）D.（一巴/）U（也，+oo）解析：选D.当AB的斜率不存在时，x=0,.01-其与必=有公共点，不满足要求；当AB的斜率存在时）可设AB所在直线的方程为y=kx1）代入x2=1y,整理得2x2kx+1=0,=(k)24X20,彳导k28,B(t,3)在y=kx1上即34o=kt1,(1)2=k22得tG(oo,72)U(也+8).6 .过抛物线y2=2px(p0)的焦点F
5、的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影为A、B,则/AFB等于.解析：如图，由抛物线定义知|AA|=|AF,|BB|=|BF,所以/AAF=/AFA,又/AAF=/AFQ所以/AFA=/AFO同理/BFB=/BFO于是/AFA+/BFB=/AFO+/BFO=/AFB.故/AFB=90.答案：907 .已知抛物线x2=4y的焦点为F,经过F的直线与抛物线相交于A,B两点，则以AB为直径的圆在x轴上所截得的弦长的最小值是解析：由题意知满足题意的AB所在直线的斜率存在，故AB所在的直线方程可写为y=kx+1,代入x2=4y)整理得x24kx4=0)Xi+X2=4k)由y=kx+1可得y
6、+y2=kxi+1+kx2+1=4k+2)|AB=yi+y2+p=4k+4,.所截弦长=2勺(2k2+2)2-(2k2+1)：=R4k2+32f3,当k=0时弦长取最小值.答案：238 ,已知定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=2x上移动，M为AB的中点，则M点到y2 = 2xB M分l ,垂足y轴的最短距离为.解析：如图所示，抛物线1一的准线为l:x=2,过点A别作AA、BB、MM垂直于分别为A、B、M,由抛物线定义知|AA|=|FA,|BB|=|FB.又M为AB中点，由梯形1,一1中位线定理得|MM|=2(|AA|+|BB|)=2113上一(|FA+|FB)421AB=2X3=2,则
7、M至1Jy轴的、31.距离dA32=1(当且仅当AB过抛物线的焦点时取)，所以dmin=1,即M点至Jy轴的最短距离为1.答案：19 .已知抛物线y2=12x和点P(5,2),直线l经过点P且与抛物线交于AB两点，O为坐标原点.(1)当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程；(2)当直线l的斜率为1时，求OABB勺面积.解：(1)设A(x1,y)B(x2,y2)因为AB在抛物线上，所以y2=12x1,y2=12x2,两式相减)得(y1+y2)(y1一y2)=12(x1一X2).因为P为线段AB的中点，所以X1#X2,又yI+y2=4)所以k=y1 一 y2X1 X212y + y2所以直线l的
8、方程为y2=3(x5),即3xy13=0.经验证适合题意.(2)由题意知l的方程为y2=1(x5)即y=x3.ry=x3)/口2由2“得x218x+9=0.y=12x设A(xby。)B(x2)y)则x1+x2=18)X1X2=9.所以|AB=W+k2（X1+X2）24x1X2=2-324-36=24.又点O到直线x-y-3=0的距离d=，2,.一113所以SaOAB=2|AB,d=2X24X2=182.10.如图，设抛物线C：x2=4y的焦点为F,P（x。，y。）为抛物线上的任一点（其中x#0）,过P点的切线交y轴于Q点.= |FQ;（1）若吟（2）已知M。，yo）,过m点且斜率为x0的直线与
9、抛物线C交于A、B两点，若成生入MB入1）,求人的值.解：(1)证明：由抛物线定义知|PF=y0+12,设过P点的切线方程为y1=k(x2),ry1=k(x2),/2由I得x24kx+8k4x=4y=0)令=16k24(8k4)=0得k=1,可得P丽在直线方程为y=x1,所以得Q点坐标为(0,1),所以|QF=2,即|PF=|QFf.(2)设A(xi,y。，B(X2,yj又M点坐标为(0,yo),所以AB方程为y=X0x+y。，x2=4y,由X0得x22X0X4y0=0.y=：2x+y02以xi+x2=2x0,x1x?=4y0=-x。)CD由AM=入网：(x1) y0y1)=入,(X2,y2y
10、o)所以Xl=1x2)(1入)X2=2x0)99由知122得(1入)2x2入X2=X。)=4入x2)由X0#0可得X2#0)所以(1入)2=4入，又入1,解得入=3+22.B.能力提升1 .已知抛物线y2=2px(p0)与圆(xa)2+y2=r2(a0)有且只有一个公共点，则()A.r=a=pB.r=apCrapDra=p解析：选B.当r0)与抛物线y2=2px(p0)要么没有交点)要么交于两点或四点，与题意不符；当ra时，易知圆与抛物线有两个交点，与题意不符；当r=a时，圆与抛物线交于原点，要使圆与抛物线有且只有一个公共点)必须使方程(xa)2+2px=r2(xR0)有且仅有一个解x=0)可
11、得awp.故选B.2 .如图，已知抛物线的方程为x2=2py(p0),过点A(0,1)作直线l与抛物线相交于巳Q两点，点B的坐标为(0,1),连接BP,BQ设QBBP的延长线与x轴分别相交于MN两点.如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为一3,则/MBN勺大小等于()0 wA兀A.y兀B.4兀D.l解析：选D.由题意设P(xi# x2),设PQ所在直线方程为2 xi 2p)2Qx2,22)( xi4Py= kx 1代入C2兀2xi_2p-1kPB=xi=2py)整理得：x22kpx+2P=0)2x21一1K+x2=2kp,2P则koB=x1x2=2p.x2可得kQEB-pkpB=0,又因为kQB,
12、kpB=3,所以kQEF=-#,kPB=即/BNMh5，兀ZBMN=53一兀所以/MBNb兀BNIM-/BMNk-.33 .设抛物线y2=4x的焦点为F,过点M2,0）的直线与抛物线相交于A,B两点，与抛物线的准线交于点C,|BF=|,则StF=.一一，3一，1解析：因为|BF=7所以B的横坐标为?不妨设B的坐标为（|,-VI）,所以AB的方程为y=232（x2）,3代入y2=4x）得2x217x+8=0）解得x=11或8,故点A的横坐标为8.故A到准线的距离为8+1=9.3SaBCF_|BC_BU准线的距离_|_1SaACF|AC=AgiJ准线的距离=9=6.答案：64 .抛物线y2=2px
13、（p0）的焦点为F,已知点A,B为抛物线上的两个动点，且满足/AFB=120,过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN垂足为N,则噌的最大值为.IAB解析：由余弦定理，得IAB2=|AF2+|BF22|AF|BFcos120=IAF2+|BF2+IAFIbf,过A,B作AA,BB垂直于准线，则IMN1,一1=2（IAAI+BBI）=2（IFA+IFB）,所以I MNIAB-I FA+I FBI21ABIFA+IFB2a/iaf2+IBF2+IFA|FB12af2+ibf2+ifaifbV(IAF+IBF)212(IAFj+IBF)2-IAFI|BF(IAF+IBF)2一|AF-IBF1(|AF+|BF)2JAF +|BF (2121(|AF +|BF) 2当且仅当| AF =| BF时，等号成立.答案:35.已知抛物线C: y2=2px(p0)经过点P(2 , 4),直线l: y = #x 2击交C于A、B两点，(1)求抛物线方程及其准线方程；(2)已知点M2, 5),直线MA ME MB勺 斜率分别为仁、k2、k3,求证：仁、k2、k3成等差 数列.解：(1)因为抛物线C： y2=2px(p0)经过点所以42=2pX2,所以p=4,所以抛物线的方程是y2=8x,所以抛物线准线方程是x=2.(2)因为直线l：y=Mx2镉与x轴相交于点F所以F(2,0).因为M2, 5),所以5
