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1、第五章散扰理论前几章量子力学的基本理论并求得一些简单问题，具体物理问题，能精确求 解问题很少。哈密顿算符比较复杂，薛方程不能求得近似解，而只能求近似值。量子力学中，用来求问题的近似解的方法，就显得非常重要。一般情况分两类1. 哈密顿算符不是时间的显函数，定态问题2. 哈密顿算符是显含时间，量子态跃迁问题 5.1非简并定态微扰理论假设体系哈密顿算符H不显含时间，而且可以分为部分H = H(0) + HH( V( )= E( o 叩(o)一部分H(。)它的本征值E(o)是已知的，可精确求解，成认为是精确解 n另一部分H很小，可以看作是加在H()上的微扰很少对E(o)，V(o)影响小。H T Eo)
2、,V(o； n nH T E ,Vn nE( o)nE( o)2EnE2 H (o)E( o)E33E( o)Ei， iH(o) + H本节，微扰理论可以近似的由H(0)的分立解级E(o)求出H的E由V(o)求出V、nn nn设H = X H形式上人为实参数，很小由于En和寸和微扰有关，可以把它们看作是表征微扰程度参数人的函数 设 E = Eo)+人 E( i +人 E( +兀 E 3 +( 3nonnnV =W (o)+人V +人 2V (2) +人 3V +代入HV = E v(H。+ 人H希)&V(i) =&E(i) .我V(i)i=0i=0i=0(1)不含人项 H(oV(o)= E(o
3、)V(o)含人项Ho人V+人H(1V (o) = E (o)人v +人 E (i)V (o)(2)nnonn n含人2项Ho人2V+人H人V =E (o)人 2V +人 E (i)V +人 2 E V (o)(3)nnnnn nn n含人3项Ho人3V (3) +人H人2V =E (o伏3V+人E (i)Vnnonn n+ 人 2 E (Av+i 入 EV( 3 )(4)含人项 How(i)+ H(i)w (o)= E( o)w + E(i)W( o)移项(Ho - E(o)w=-(HE)w(o)非简并情况下E(o) tw(o)只有一个态W( o )*左乘再积分Jw(o)*(H(o)一 E(0
4、) )w (i)dx =-Jw(o)*(H 一 E)w() dx = 0因为=Jw (o)* H(o州 dx - Jw(o) E(o叩 dxJ( H(o )w (o )*w dx = E (o) Jw (o )w dxn nn n n右边0 = Jw(o)* H (i)w(o)dx + Jw(o) E(i)w(o)dx=Hnn一级近似 E = E(o) + 人E=E(o) + Jw(。)*XH(iw (o) dx = E (o) + Jw (o )* H (iV( o) dxJw (o )* H (i)w (o) dx nn求得 E 后，由(Ho - E(o)w=-(H(10) - E)w(o
5、) nn n可求w，将w展开w (o) n = i,的线性式一 V即w=Snl lnl因(Ho - E(o)w (o) = 0代入Ho - Eo ) a(w) o nl l即E(o)a(i)w(o) -E(0) SC Q C n（。）nnnf a（i）W（o）+ a（i）W（ o）nSi中不含n l丰ni(HLE5o()n na(i)V (o)= E(i叩(o) -H (i)V (o)左乘甲(o)*积分，m = imAnS E( o)a W( o)叩(o)d T .= E( o)S i a Jw( o)叩(o)dx = E Jw( o)*W( o)&-Jw( o )* H (1)w( o) d
6、x mIE(o) a - E(o) a=E- Jw () H (i)w dxJw(o)*H(1)w(o)dx如丫) H w). a =mn= mmE(o) - E(o)E(o) - E(o)w?)=S eewmo)W =W( o) +Xw =W (o) +z,HmnW( o)E (o) - E (o)m,X Hmn W(i)=w( )+E (o) - E (o)m n能量的二级修正Ha (1)W( o) = J mnW( o)mm n m代入(H0 - E(o)W =-(H-E)W + EW (0)(H0 - E(o)w(2) - (H -E)Z a;i)W()+ Ew(。)-E(o)W dx
7、 = -Z a(i)H(i) + E Z a(i)S左乘W (o)*积分W (o )*( H 0 n=X 2Z a(i)H (i) = Z a(i)H (i)=Iz， H=乙sE (0) - E (0)- YlC=zHE (0) - E (0)n 4E = E (o) +X E +X 2 E +z，mH n 2E (0) - E (0)二级波函数+z，.fzm=W(0) +z 一mkW (0)kE (0) - E (0) mmkmH，H，mnnk(E(0) - E(0)(E(0) - E(0)k m k nH |H Hmkkk .W (0) (E) - E(o)2 J m!_nd W (0)(
8、Eko) - E(o)2 J k三级能量a E=3 nnnH HknmmHnk-(E(o) - E(o)(E(o) - E(o)-H zkkn，Hkn(E(o) -E(o)2微扰理论适用条件=E(o)+ Hf+z，m|H，I2nm+E (0) - E (o)nm+z，mH，mn +W (0) +E (0) - E (o)m4E (0) - E (o)对En,w n影响小与H有关，与E(0)-E(o)有关，分立间隔越小，近似越好例 电荷为e的线性谐振子乌受恒定弱电场作用。电场沿正x方向。求能极和 波函数解 体系的哈密顿算符是h 2 d 2 1H = ,+ R 2 x 2 e x2旦 dx2 21
9、&2、H 曾 =E(o冲E( o =力(n + 2)W = N e 2 H (g)E =inn n = L W(o)*Hw(o)dx =j 8 W(o)*(e x)W(o)dx=e j 8 W(0)2 xdx = 03 n一级修正为0，w (x)有确定的宇称，即W (x) = W(x)，W |2偏函数 n二级修正HL 2E (0) 一 E (0)nm=(W (0)* Hni = j8 W (0)* H W (o) dx = js N e 一 ?H (ee x )N e 亳 H dx8 mn8 mm=N N eej8 xH H e-g2dx = -NmNj8 &H H e-g2d& m n 8
10、m na 28ax = g一，1，利用 g H (g )=)H (g) + nH (g) n2 n+1n1H，mnN N eea 2n+1n+1e-g2 H d g =m(g) H e-g 2 d g n+1 m+nj HH e-g2 dg =竺 j (-1) 12 j 8 W *W (0) dx + (n)2 jw (0) W (0) dx a28 n+1m2n 1 mn+1m+2 : n1n + 1mN =nn2n,m + , mn1-m)n,+ o, m2 n-1Nn +12n + 2E (2)=nmJH_mmE (o) E (0)2e28 2 V1 | Jn +18 , m + /nd
11、 n 1,m乙12呻E( o) E (O)=止2呻 | E(o) E(o)E(o) E(。1nn+1e28 2 (n +1) + n 2呻2=e2 8 22呻2n +1 n +=己2呻L-舟舟能极平移一竺22呻波函数一级修正V (1) =nE( o) E( o)mHmnEV (0) mm1 m E(o) E(o)e8V (0)白. W n + 1 +n1E(o) E(% ? 2 呻E(o) E(o) 2 呻eW(o)n+1esw nvn + 1y(o)n+1+旦 dn力叭2呻nw (0) = e8 1G-n + 1v (o) Jnw (o) n1q 2 昨 w 2n+1n1W =e 0* 2昨
12、，2d 21H = + |Liw 2 x 2 e8 x2日 dx22d 2 1, e8 x e 2 8 2+ _ 呻2 (x )2 dx 2 2|lxw 22pw 2=一 土 + 1 呻 2 x，-竺!2 日 dx2 22 呻 2平衡点右移= _L + 1 呻2x22日 dx22也是一个线性谐振于，每条能级都比无电场时的相互能级低空平衡点向2呻2右移工呻25.2简并情况下的微扰理论上一节结果适用于E（o）不是简并的情况，假设E（o）是简并的，即属于H的 nn本征值，E（o）有k个本函i = 1,2,3k (5.1-5) (5.1-6) (5.1-8) (5.1-9) (5.1-10)e（ o）:奴 e, e, eh （即=e（。冲n123 ki n i上节 E = E（ o）+ E+ E+ EW =w（ o）+W +V（2）+W （H（0） -E（o）W（o）= 0 n （H -Eo）w；1） =-（H - E（j）w （0） n nf n n（H -E（o）w （2） =-（H - E）W （0） + E（2叩（0）用以上摧1导，首先遇到零级近似波函数W（0），非简并时，用W；。），简并时用？设零级波函数 三0 = 仙）E（0本征函数的线性组合，是5.1-8的解 i=1
