&amp#167;222椭圆的角的几何性质及应用

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1、 2.2.2椭圆的简单几何性质及应用学习目标:1、理解并掌握椭圆的几何性质,能根据这些几何性质解决一些简单问题.2、培养学生数形结合的意识和独立分析、解决问题的能力.重、难点:椭圆的几何性质和简单应用(重点);几何性质的灵活应用(难点) 学习过程:一、课前准备(预习课本P43-P48找出疑惑之处),并填写下列知识要点(1) 椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y上图 形yJkBJfvB1r2 xw2标准 方程范围顶点轴长长轴长 短轴长长轴长 短轴长焦点焦距对称性对称轴,对称中心离心率(2) 椭圆的离心率对椭圆扁圆程度的影响因为a c 0,所以0 e c 0),则点M的轨迹是,定点F(

2、c,0)是椭圆的一个焦点,直线1:x =称为相应于焦点F的准线.由椭圆的对称性,相应于焦点F(-c,0),椭圆的c准线是1: x .(4)椭圆中一些重要量及重要结论 “四线”是指;“六点”是指 0,所以椭圆上点的横坐标都适合不等式一W1,即 a W X W a,同理有b 2a 2a 2辛W1,即-bW y W b这说明椭圆位于直线X = a和y曰所围成的矩形框里.【例1】已知中心在原点的椭圆经过(2,1)点,求该椭圆的半长轴长a的取值范围.跟踪训练:已知椭圆的长轴长为20,短轴长为16,贝I椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是A. 6,10( )B. 6,8C. 8, 10D. 16, 20

3、学习探究二、椭圆的对称性(1) 判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的方法:若把方程中的x换成-x,方程不变 则曲线关于y轴对称;若把方程中的y换成-y,方程不变,则曲线关于y轴对 称; 若把方程中的x、y同时换成-x、- y,方程不变,则曲线关于原点对称.(2) 由(1)可知,椭圆关于x轴、y轴、原点都是对称的.这时坐标轴是它的对称轴, 原点是它的对称中心,椭圆的对称中心又叫椭圆的中心.因此,椭圆既是轴对称图形, 又是中心对称图形.(3) 椭圆对称性的应用:在利用描点法画椭圆时,只要作出第一象限的图象,其它象限的图象可以利用对称性画出;在研究满足一定条件的点的性质时,只要研究点位于第 一象限的情

4、形,其它象限的情形可利用对称性得到.x 2y 2一【例2】、已知点(3, 2)在椭圆+ 1a 2b 2上,下列给出的三个点(-3,-2),( 3, 2),(-3,2 )中在该椭圆上的是.跟踪训练:已知F1, F2是椭圆45+ b 0)与对称轴的四个交点:A (-a,0)、A (a, 0),a 2 b 212y 2 x 2B (0,b)、B (0, b)叫椭圆的顶点;椭圆 + 1 (a b 0)的四个顶12a 2 b 2点是 A (0, a)、A (0, a),B (-b,0)、B (b,0).12 12(2) 长轴、短轴:线段A A叫做椭圆的长轴,且I A A I 2a , a是长半轴长;线段

5、BB1 2 1 2 1 2叫做椭圆的短轴,且I BB I 2b , b是短半轴的长.1 2(3) 椭圆的焦点永远在长轴上.【例3】、若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆上的最短距离为朽,求该椭圆的方程.x 2 y 2跟踪训练:F(c, 0)为椭圆+; 1 (a b 0)的右焦点,F与椭圆上的点的距离最a 2 b 2M + m 大值为M,最小值为m,贝I椭圆上与F点的距离等于的是.学习探究四、椭圆的离心率2c c (1)椭圆离心率的定义:椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率,记作e -2a a(2)离心率的范围:因为a c 0,所以0 e b 0),过

6、椭圆的右焦点作x轴垂线交椭圆与A、Ba 2 b 2两点,若OA - OB = 0,求椭圆的离心率.三、当堂检测1 2x 2y 21、已知一+ =1 (m 0,n 0),则当mn取得最小值时,椭圆 + = 1的离心率是m nm 2 n 22、椭圆才+ y 2 = 1的两个焦点为F,过F作垂直于X轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则I PFJ等于C -7( )D.42 23、已知椭圆的一个焦点将长轴分成2 : 1两部分,且经过点(- 3迈,4),求椭圆的标准方 程.4、已知椭圆右+ _ = 1,求其内接三角形面积的最大值.169X 2 y 25、已知椭圆一 + = 1(a b 0)的四个顶点A、B、C、D构成的四边形为菱形,若菱a 2 b 2形ABCD的内切圆恰好过焦点,求该椭圆的离心率.

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