《线性规划复习(技巧)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性规划复习(技巧)（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、线性规划基础知识：一. 1.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+By0+C=O2. 点 P(x0,y0)在直线 Ax+By+C=0 上方(左上或右上)，则当 B0 时,Ax0+By0+CO;当 B0 时,Ax0+By0+C0 时，Axo；Byo+cO;当 B0 注意：(1)在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同，(2)在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反， 即: 1.点 P(xi,yi)和点 Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0 的同侧
2、，则有(Axi+Byi+C)(Ax2+By2+C)01 1 2 2 1 1 2 22.点 P(xi,yi)和点 Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0 的两侧，则有(Ax+By+C) Ax”+By2+C)0 (或0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地，当CH0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用 (0， 1)或(1， 0)当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另 一侧区域为需画区域。方法二：利用规律：1. Ax+By+C0, 当 B0 时表示直线 Ax+By+C=0 上方(左上或右上)，当 B0 时表示直线 Ax+By+C=0 下方(左下或右下) ;2. Ax
3、+By+C0 时表示直线 Ax+By+C=0 下方(左下或右下)当 B 0所表示平面区域内，同时在不等式2x + y + 6 0所表示的平面区域内，同时又在不等式2x- y + 2 0,所以已知三角形内部的平面区域可由不等式组”x + y + 6 0,表示.2 x y + 2 0说明：用不等式组可以用来平面内的一定区域，注意三角形区域内部不包括边界线2画出2x-3 y 0, y 0,y还有限制条件，即求re z, y e zy 2 x 3,I y 2x 3,解：原不等式等价于y 3.而求正整数解则意味着x，y 3.依照二元一次不等式表示的平面区域，知2x-3 y 3表示的区域如下图： 对于2x
4、-3 y 0 , y 0 , z 0 ； p = -3x + y + 2 z ,q = x 2y + 4z , x + y + z =1,用图表示出点 (p, q)的范围.6P分析：题目中的p , q与x , y , z是线性关系. 可借助于x, y , z的范围确定(p , q)的范围.3x - y - 2 z = - p, 解：由 x-2y + 4z = q,得x + y + z = 1,x = 27(8 + q - 6 p),y = 2-(14 - 5q + 3 p),z = 21_(5 + 4 p + 3q), 厶/6p 一 q 一 8 0 , y 0, z 0得p-5q +140,画
5、出不等式组所示平面3p + 4q + 5 0,区域如图所示说明：题目的条件隐蔽，应考虑到已有的x, y , z的取值范围借助于三元一次方程组分别求出x, y ,z,从而求出p, q所满足的不等式组找出(p , q)的范围.4、已知 x,y,a,b 满足条件：x 0, y 0, a 0, b 0,2x+y+a=6,x+2y+b=6 (1)试画出(x，y )的存在的范围；(2)求2x + 3y的最大值。典型例题二画区域 求面积y lx +11 1 例3求不等式组 所表示的平面区域的面积.y |x+1|-1 可化为 y x(x -1)或 y 一x 一 2(x -1)； 不等式y -|x| +1 可化
6、为 y 0)或y x +1(x -1), AC： y = -x- 2(x 0), DF： y = x +1(x 0)则不等式组所表示的平面区域如图,由于AB与AC、DE与DF互相垂直,所以平面区域是一个矩形.4 所以其面积为3 .根据两条平行线之间的距离公式可得矩形的两条边的长度分别为上2和2 典型例题三求最值一、与直线的截距有关的最值问题 z = Ax+ Byb C1.如图1所示，已知口ABC中的三顶点A(2,4), B(-1, 2), C(1，0), 点p(x, y)在口ABC内部及边界运动，请你探究并讨论以下问题： z = x + y在一点A 处有最大值6 ,在边界BC处有最小值1 ；
7、z = x - y在点C 处有最大值 1,在点B 处有最小值-3yi,4)(j, 2)x + y 二 6y x = -3A0(1,0)x - y = 1(2,4)2x + y 12 0,x - 4y +10 0,求z = x + 2y的最大值和最小值.分析：画出可行域，平移直线找最优解 解：作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如图所示作直线1 : x + 2y = z，即y = -= x + z，它表示斜率为-=，纵截距为=的平行直线系，当它2 2 2 2在可行域内滑动时，由图可知，直线1过点A时，z取得最大值，当1过点B时，z取得最小值.z = 2 + 2 x 8 = 18z = -2
8、+ 2 x 2 = 2max minAzAz注：z = Ax + By可化为y = - x + 表示与直线y = - x平行的一组平行线，其中云为截距，特别注 BBBB意：斜率范围及截距符号。即注意平移直线的倾斜度和平移方向。变式：设x,y满足约束条件x - 4 y -3v 3x + 5 y 1分别求：(1)z=6x+10y, (2)z=2x-y,(3)z=2x-y,的最大值，最小值。二、与直线的斜率有关的最值问题y-yz =- 0表示定点P (x0,y0)与可行域内的动点M(x,y)连线的斜率.0x y 2 W 0,y例2设实数x, y满足 0,1已知f.求x2 + y2的最大、最小值.I
9、x + y 10 0,解：由f八得可行域(如图所示)为x + y 10 W 0,z 二 x2 + y2 = (x2 + y2),而(0,0)到 x + y 5 二 0 , x + y 10 二 0 的距离分别为各和丄占.所以z的最大、最小值分别是50和弓.x y + 2 2 0,x + y 4 2 0,求 z 二 x2 + (y 5)2 的最小值9).而z 二x2 + (y 5)2表示2 x y 5 W 0,解析：作出可行域如图 3，并求出顶点的坐标 A(1，3)、B(3，1)、C(7，可行域内任一点(x, y)到定点M(0, 5)的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC9上，故z的最小值是MN2二-练习：1.给出平面区域如右图所示，若使目标函数z=ax+y (a 0丿取得最大值的 最优解有无穷多个，则a的值为(B5D.3C.413A.B.45Ix 0x y + 2 03三角形三边所在直线分别为x-y+5=
