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1、2022-2023学年高中数学 第三章 不等式 专题3.4 基本不等式试题 新人教A版必修5 1重要不等式：a2b22ab(a，bR)一般地，对于任意实数a，b，有a2b22ab，当且仅当_时，等号成立2基本不等式如果a0，b0，那么，当且仅当_时，等号成立其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数因此基本不等式也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数3基本不等式的证明（1）代数法：方法一 因为a0，b0，所以我们可以用，分别代替重要不等式中的a，b，得，当且仅当时，等号成立即( a0，b0)，当且仅当ab时，等号成立方法二 因为，所以，即，所以方法三 要证，只
2、要证，即证，即证，显然总是成立的，当且仅当ab时，等号成立（2）几何法：如图，AB是圆的直径，C是AB上一点，ACa，BCb，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD易证，则CD2CACB，即CD_这个圆的半径为，显然它大于或等于CD，即，当且仅当点C与圆心重合，即ab时，等号成立 由此我们可得的几何意义：半径不小于半弦4重要不等式和均值不等式的常用变形公式及推广公式（1）(a，b同号)；(a，b异号)（2）(a0)；(a0)（3）(a0，b0)；(a0，b0)（4），4aba2b22ab，2(a2b2)(ab)2（5）（6）为正实数，且5均值不等式链若a0，b0，则，当且仅当ab时，等号成
3、立其中和分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数6最值定理已知x0，y0，则若xy为定值s，则当且仅当xy时，积xy有最大值(简记：和定积最大)；若xy为定值t，则当且仅当xy时，和xy有最小值(简记：积定和最小)K知识参考答案：1ab 2ab 3 K重点重要不等式，基本不等式的公式、证明、几何解释、变形及推广K难点均值不等式链的应用、利用基本不等式求最值、不等式的证明K易错忽略等号成立的条件、等号成立的一致性导致错误利用基本不等式判断不等式是否成立要判断不等式是否成立，关键是把握其运用基本不等式时能否严格遵循“一正、二定、三相等”这三个条件（1）设f(x)ln x，0ab，若pf()，q，r(
4、f(a)f(b)，则下列关系式中正确的是AqrpBprqCqrpDprq（2）给出下列不等式：；若0a1b，则logablogba2其中正确的是_【答案】（1）B；（2） 方法2：(特值法)令a1，b2，则pf()ln，qln，r(ln 1ln 2)ln因为，所以lnln，所以prq，故选B（2）当x0时，当x0时，所以，故不正确，正确；由于x0，所以，当且仅当，即时取等号，故不正确；当时，时，故不正确；当0a1b时，故logablogba2，正确综上，正确【名师点睛】基本不等式常用于有条件的不等关系的判断、比较代数式的大小等一般地，结合所给代数式的特征，将所给条件进行转换（利用基本不等式可将
5、整式和根式相互转化），使其中的不等关系明晰即可解决问题利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式的一般思路：先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的形式；若题目中还有其他条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换另外，解题时要时刻注意等号能否取到（1）已知a0，b0，c0，求证：；（2）已知ab，ab2，求证：【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）因为a0，b0，c0，所以利用基本不等式可得，所以，即，当且仅当abc时等号成立 【名师点睛】对
6、于（1），合理地构造并正确选用基本不等式或其变形式，是证明轮换对称结构的不等式（用b换a，a换c，c换b后，代数式不变的式子叫轮换对称式，其特征是a，b，c的地位一样）的常用思路；对于（2），观察ab，a2b2，可联想到通过加减2ab的方法配凑出(ab)2，从而化为可使用基本不等式的形式，结合ab2可使问题得到解决利用基本不等式求最值（1）直接应用类：此类问题较为基础，注意“一正、二定、三相等”即可（1）已知f(x)x2(x0)，则f(x)有A最大值为4 B最小值为4C最小值为0D最大值为0（2）已知0x4，则x(4x)取得最大值时x的值为A0 B2C4D16（3）已知函数f(x)(x0)，若
7、f(ab)16，则f(ab)的最大值为_；（4）已知a，bR，且ab8，则|a2b|的最小值是_【答案】（1）D；（2）C；（3）16；（4）8【解析】（1）因为x0，所以f(x)(x)2220，当且仅当x，即x1时取等号故选D（2）因为0x4，所以4x0，所以x(4x)4，当且仅当x4x，即x2时取等号故选C（3）因为，所以ab4，所以，f(ab)16，故f(ab)的最大值为16（4）依题意得a，b同号，于是|a2b|a|2b|8，当且仅当|a|2b|4时取等号，因此|a2b|的最小值是8【名师点睛】利用基本不等式求最值要牢记三个关键词：一正、二定、三相等，即一正：各项必须为正；二定：各项之
8、和或各项之积为定值；三相等：必须验证取等号时条件是否具备（2）配凑定值类：此类问题一般不能直接使用基本不等式，要从整体上把握进而运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项、凑项、凑系数等（1）已知x0，则函数y的最小值为_；（2）若x1，则函数y的最小值为_；（3）若0x，则函数yx(125x)的最大值为_【答案】（1）5；（2）3；（3）（3）凑系数：因为0x，所以y5x (125x)，当且仅当5x125x，即x时取等号故填【名师点睛】不论条件怎么变形，都需要根据条件：凑和为定值时求积最大、凑积为定值求和最小（3）条件最值类：在求解含有两个变量的
9、代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，或构造不等式求解（1）已知a0，b0，ab1，则的最小值为_；（2）已知a0，b0，2，则ab的最小值为_；（3）若正实数x，y满足xy3xy，则xy的最小值是_；（4）已知x0，y0，xyxy3，则xy的最小值是_【答案】（1）4；（2）2；（3）9；（4）2（3）构造一元二次不等式：由x0，y0，xy3xy，得xy3，当且仅当xy3时等号成立，故30，即0，由0解得3，即xy9故xy的最小值为9（4）构造一元二次不等式：由x0，y0，xyxy3，得xy3(xy)，当且仅当xy1时等号成立，故(xy)30，解得xy2或xy6(舍去)
10、，故xy的最小值是2【名师点睛】在构造不等式求最值时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用例如，当a0，b0时，a2b22ab逆用就是ab；逆用就是ab等还要注意“添项、拆项、凑系数”的技巧和等号成立的条件等基本不等式在实际中的应用利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是从具体的几何图形，通过相关的关系建立关系式在解题过程中尽量向模型(a0，b0，x0)上靠拢如图，要规划一个矩形休闲广场，该休闲广场含有大小相等的左右两个矩形草坪（如图中阴影部分所示），且草坪所占面积为18 000 m2，四周道路的宽度为10 m，两个草坪之间的道路的宽度为5 m试问，怎样确定该矩形休闲广场的
11、长与宽的尺寸（单位：m），能使矩形休闲广场所占面积最小？ 【答案】当矩形休闲广场的长为140 m，宽为175 m时，可使休闲广场的面积最小 因为x200，所以S，当且仅当时等号成立，此时有(x20) 214 400，解得x140，代入y，得y175，即当x140，y175时，S取得最小值24 500故当矩形休闲广场的长为140 m，宽为175 m时，可使休闲广场的面积最小方法2：设矩形草坪的长为a m，宽为b m，则ab9 000，其中a0，b0易知矩形休闲广场的长为(a20) m，宽为(2b25) m故休闲广场的面积S(a20)(2b25)2ab40b25a50018 50025a40b18
12、 500，当且仅当25a40b时等号成立此时，代入ab9 000得a120，b75，即当a120，b75时，S取得最小值24 500故当矩形休闲广场的长为140 m，宽为175 m时，可使休闲广场的面积最小【名师点睛】本题容易出现的思维误区：未能理清草坪边长与休闲广场边长之间的关系；求出目标函数后不会运用基本不等式求最值，缺乏必要的配凑、转化变形能力，从而无法利用基本不等式求最值，或者不会利用基本不等式等号成立的条件求变量的取值忽略等号成立的条件导致错误函数的最小值为_【错解】，所以函数的最小值为2【错因分析】错解中使用基本不等式时，等号成立的条件为，即1，显然x21，即等号无法取到，函数的最
13、小值为2是不正确的 【名师点睛】（1）利用基本不等式求最值时，必修保证等号能取到才能求出最值，若题设条件中的限制条件或函数的定义域不能使等号成立，则要转换到另一种形式解答，如借助函数单调性等；（2）对于模型，当且仅当x时等号成立；（3）求函数y(a0，b0)在区间(0，c上的最值时，由函数图象易得：若c，则当x时，y取得最小值；若c，则当xc时，y取得最小值ac忽略等号成立的一致性导致错误若x0，y0，且x2y1，则的最小值为_【错解】因为x0，y0，所以1x2y，即8xy1，即xy，故8因为，所以故的最小值为【错因分析】在求解过程中使用了两次基本不等式：x2y，但这两次取“”需满足x2y与xy，互相矛盾，所以“”不能同时取到，从而导致错误【名师点睛】连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号时的条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取等号的条件成立 1已知，则取最大值时的值为ABC
