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1、第二 时间序列的特性 记录推断就是从已知东西中获知某些未知的东西.时间序列分析也不例外.为了做到这一点,有必要假定在所感爱好的时间范畴内，概率分布的某种特性保持不变. 这就导致了不同类平稳性的假定. 这些不同的假定依赖于我们所考虑问题的特性 数据间的相依性是时间序列分析和典型记录间的基本差别. 为适应实际需要,多种不同的相依性度量已被给出. 在本章，我们简介最常用的平稳性定义和相依性的度量，并讨论何时这些定义和度量与实际更有关.2.1 平稳性2.1定义 在本节,我们引进两类平稳性的定义,即（弱）平稳性和严平稳性. 这两类平稳性都规定期间序列保持某种时不变性. 定义21 时间序列称为平稳的，如果
2、对每个，且 ()是与无关的常数. (ii）对每个与无关. 定义22 时间序列称为严平稳的,如果对任意的和任意的整数和有相似的联合分布. 平稳性，在大多数教科书中常被称为弱平稳性，仅假定期间序列的前两阶矩是时不变的. 如果时间序列有有限的二阶矩，则它比平稳弱. 弱平稳性重要用于线性时间序列，例如ARMA过程，此类时间序列重要波及时间延迟变量间的线性关系. 事实上,对多数波及线性时间序列分析的问题,例如谱分析,只要有弱平稳性的假定就够了. 反过来,如果我们的爱好是在非线性关系，则时间序列存在前两阶矩有时是不够的. 这就解释了为什么在非线性时间序列分析中常规定严平稳性条件.21.2 平稳ARA过程
3、显然，白噪声过程N是平稳的,但它不必是严平稳的；参阅1.依以上的讨论，用N作为一般线性时间序列模型的生成模块是自然的.对高斯时间序列，我们仅需关注前两阶矩的性质 平稳高斯时间序列还是严平稳的. 一方面,我们考虑滑动平均模型.由（1.2)式易见,任何阶为的M过程是平稳的. 对一切,考虑如下定义的M模型： , （2.1）其中. 因此,.这就意味着（2.1)式右边的无穷和依概率收敛,且由于条件蕴涵了,故还依一阶矩和均方收敛. 注意，在更强的条件下,由Lo定理（见C和eicr(1997)中第117页的推论3），无穷和还几科到处收敛 进一步,， (22)与无关.因此，这样的模型还定义一种平稳过程. 显然
4、,如果是i.i.d 的且，则由(2.)定义的过程是严平稳. 运用推移算子,我们可以把由(1.3)定义的一般模型表达为如下形式 （对一切）， (2）这里是推移算子,其定义为和是多项式，定义为 （.4） 注.1对由(2）式定义的AMA模型,我们总假定多项式和没有公因子.否则，如此定义的过程在消去公因子后,等价于一种阶数不不小于的过程 定理2.1 如果对一切满足的复数,则由（2)给出的过程是平稳的. 证明 令是的根.则有和.由某些简朴的aor展开,我们得到，对任意的，.注意.记. 容易验证,. 因此, ， (.)其中，且 这就表达，对一切，在条件下,是形如(2.1)式的过程,从而是平稳的. 时间序列
5、中的另一种重要概念是因果性. 定义2. 如果对一切，时间序列满足,其中，则称该序列是因果的. 因果性意味着可以由(从过去)直届时间的白噪声过程生成，事实上是一种过程对由(2.3)定义的ARA过程，因果性等价于条件:对一切(Brockwell和Davis（199)第8页),因而也蕴涵了平稳性，但反之不是真的. 事实上,模型有惟一的平稳解的充足和必要条件是对一切使得的复数（Brockwell和Davi（199）第82页). 然而,作为例子，可以证明，在对一切的条件下,自回归模型（2.3)的平稳解具有形式,但它不是因果的. 由于依赖于“将来的”噪声,与否应当称它为一种时间序列尚可有争议. 但是，任何
6、一种非因果的ARMA过程都可以借助于重新定义的白噪声而表达为一种（具有相似阶数)因果RMA过程，且这两个过程有同样的前两阶矩(Brockll和Dais（191）的命题31). 因此,不失一般性，我们将注意力限于因果ARM过程这一子类 但是，我们应注意到，虽然最初的过程是由i.i.d. 过程生成的,在过程新的表达里，白噪声可以不再是i.d 过程 在定理2.1里,过程依时间双边无穷这一条件是重要的. 例如，对如下定义的过程它是平稳的（还是严平稳的),其中. 然而,对和初始点，由于,故这样定义的过程不再是平稳的. 过程是严平稳的充足必要条件是初始点. 事实上,这个分布也是由以上AR（1)模型定义的马
7、尔可夫链的平稳分布(见下面的定理.2）.2.3 平稳高斯过程 时间序列被称为高斯的,如果它的一切有限维分布都是正态分布. 如果,且,对一切，则由(2.3)式定义的是一种平稳高斯过程（因此，还是严平稳的) 另一方面，由Wod分解定理(Bckwell和Dais(1991)，每17页）得到,对任何零均值平稳高斯过程， (.6)成立，其中和是两个独立的正态过程,是拟定的，其含义是对任何完全由它的延迟值所拟定（即是可测的,是由生成的代数）. 当,我们称为纯非拟定的. 因此，一种纯非拟定的平稳高斯过程总是线性的. 一种特别简朴地情形是相依平稳高斯过程，其含义是对所有的和是独立的 这蕴涵了在（2.6)式中，
8、且对所有的 因此， 另一方面，如果给定和是独立的,记,由于对,易见和是独立的进而,由于仅是的函数，故和也是独立的.因此，. 由于正态性，是的线性函数，即对某些系数,由于 ,这蕴涵了. 以上的成果总结如下 命题2.1 设是一平稳高斯时间序列。 (i)如果它是一纯正非拟定过程，则.（ii)如果它是一相依过程,则. (ii）如果给定和是独立的,则.14 遍历非线性模型* 对线性时间序列模型可直接验证其平稳性. 但验证一种由非线性模型定义的时间序列与否是严平稳决不是容易的 证明(或证明不成立)某个简朴的非线性模型（例如平方函数）可以生成一严平稳过程仍是有待解决的问题.常用的措施是将时间序列表成一种(一
9、般是向量值的)马尔可夫链,并建立马尔可夫链的遍历性.再运用遍历的马尔可夫链是严平稳的这一事实得届时间序列模型的严平稳性. 一方面，我们给出马尔可夫链的一种简要的简介. 向量值随机过程称为马尔可夫链，如果它服从马尔可夫性：对所有,给定,的条件分布仅依赖于马尔可夫性规定给定目前和过去,将来仅依赖于目前. 给定的条件分布称为在时刻的转移分布.如果转移分布与时间无关,马尔可夫链称为齐时的. 本书仅考虑齐时马尔可夫链 为简便,我们称之为马尔可夫链. 我们考虑非线性AR模型的一般形式 ， （2.7）其中是一ii.随机变量序列. 当一种时间序列模型通过一种i.id.噪声来定义时，总暗含假定:和是独立的.当过
10、程由这样一种模型依自然时间顺序产生时，这一条件自然成立. 定义,对,则由（2.7）得到是如下定义的马尔可夫链 令是的分布函数,是的密度函数,是给定期,的条件分布. 由(.8）得到，对 , （2.9)且,事实上,它是马尔可夫链的转移分布. 下面引进的(arris)遍历性是以概率分布依全变差范数的收敛性来定义的. 对两个在同一种空间上的概率分布和的全变差定义为，其中上确界遍取样本空间的所有可测分割.如果有概率密度,可以证明. 定义2.4 如果存在一分布和常数使得 (对任意） （.10)则当时，马尔可夫模型(.)称为遍历的；当时,称为几何遍历的称为平稳分布. 在以上体现式中，表达全变差. 显然,几何
11、遍历蕴涵了遍历. 马尔可夫链的遍历性完全依赖于它的转移分布 如果转移分布是严格正的和规则的，则过程是“弱”遍历的（其含义为:在的所有持续点上,）,进而从导出的过程是平稳的;例如，见ller(1)的8.7 不幸的是，如(2.8）定义的过程不满足这些条件. 这里的aris遍历性采用更强的依全变差收敛，它有效地保证了所规定的平稳性. 有关Hadrris遍历性的进一步讨论可参阅Chan(199，1993）. 定理2 假定马尔可夫模型（2.8）是遍历的,则存在一种平稳(维)分布使得由（27)和初值定义的时间序列是严平稳的. 证明 对(2.9)式的两边令,由的全变差收敛到得到.注意到是给定期，的条件分布
12、以上方程表达，如果,则因此,中的所有随机变量均有相似的边沿分布.马尔可夫性蕴涵了的联合分布完全由转移密度和的边沿分布所拟定. 这样，由(2.8）式和初值定义的马尔可夫链是严平稳的.仅考虑的第一分量,即完毕定理证明. 对遍历的马尔可夫链,大数定律总是成立的而不必顾及初始分布 如下定理由Can（193）证明 定理2.3 假定马尔可夫模型（2.8）是遍历的，且具有平稳分布. 对任意初始变量，由（.)定义的,如果,则有. 找一使(2.8)是（arris)遍历的一般条件也并非易事. 如下列出几种常用的判断非线性模型与否遍历的准则. 对,我们记. 定理2. 假定模型（2.7)中的是可测的，有正密度函数,且
13、. 如果下列三个条件之一成立,则马尔可夫模型（2.)是几何遍历的. (i）在有界集上是有界的，且, (2.1)其中是常数,对任意，满足条件. (ii）存在常数和使得. (ii)和,且,使得. 在以上定理中，（i)和(i)由n和Huag(996）获得得,(iii）被Battaara和Le（199)证明. An和Chen(197）推广条件（1）到情形.对(.7）中是持续的情形，An和Hang(9）还导出了一种条件. 为了论述简便,如果马尔可夫模型(.8）是（几何）遍历的，我们称模型（2.）是（几何）遍历的. 例21(T模型）考虑具有个分段的TA模型见(1.8）, (2)其中满足定理24的条件,，和
14、是正整数,由定理2.和22得到，如果（它保证了定理2.4的（ii）成立)，或者，且,这里（它蕴涵了定理4的（)），则以上模型存在严平稳解. 不幸的是,加在以上模型的条件比为保证模型的严平稳性所必需的更强. 对模型(2.13)导出遍历的充足必要条件仍是一种挑战.Cha和Ton(1985）证明了简朴的TR模型 （2.14）是遍历的充足必要条件是. 注意,对这个模型，时的条件（2.12)成立. 由定理2.2和2.4,我们可以导出AAR模型(.12）或FR模型(1.11）有严平稳解的某些充足条件. 一般地,由于对一切的，（2.11)成立,故当时,如果比增长得更慢，则（27)有严平稳解 另一方面,如果（2.7)中的是阶不小于1的多项式函数，因而是无界的,这时对阶模型的遍历性来说,有紧支撑这一条件是必要的(Chan和Tong1
