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1、2019届数学人教版精品资料课题：等差数列的前n项和教材：普通高中课程标准实验教科书数学必修5(人民教育出版社A版)一、 背景分析1 教学内容分析等差数列的前n项和是按照从特殊到一般的探究方式 ，引导学生采用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式，并体会公式的一些应用，同时让学生探究等差数列的前n项和公式与关于n的二次函数之间的联系。2 在教材中的地位等差数列前n项和是进一步学习数列、微积分的基础，与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系。 3 重点、难点定位重点：等差数列前n项和公式的理解、推导及应用。 难点：等差数列前n项和公式推导方法及它与二次函数的关系。 二、 学生学情
2、分析1、 知识准备学生已经学习了等差数列的通项公式和性质，数列的和等有关内容。2、 能力储备学生经过初高中的数学学习，已具有一定的自主探究能力，从特殊到一般的类比推理能力，但学生对于倒序求和的思想还初次见到。3、 学生情况我所在的学校是省示范性高中，学生基础还不错，经过近几年的课改，已经形成了较浓的自主探究氛围与合作交流意识。这些都为本节课突破难点提供了有利条件。 三、 教学目标1、 知识与技能（1）理解等差数列前 项和的定义以及等差数列前 项和公式推导的过程，并理解推导此公式的方法倒序相加法，记忆公式的两种形式；（2）用方程思想认识等差数列前 项和的公式，利用公式求 ；等差数列通项公式与前
3、项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个量； （3）会用等差数列的前项和公式解决一些简单的与前项和有关的问题.2、过程与方法（1）通过对历史有名的高斯求和的介绍，引导学生发现等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个规律，然后体验从特殊到一般的研究方法。通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。（2）通过公式的推导过程，展现数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并运用数学知识和方法科学地解决问题.3、情
4、感与价值观(1) 通过对数列知识的进一步学习，不断培养学生自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神；（2）通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，产生热爱数学的情感, 形成学数学、用数学的思维和意识，培养学好数学的信心，体验在学习中获得成功的成就感，为远大的志向而不懈奋斗。四、 课堂结构设计课堂结构设计图：复习提问创设情境设问质疑 类比拓展类比猜想合作交流证明猜想整理成果自主探究模仿应用应用拓展总结规律升华拓展课堂小结布置作业互动回顾五、 教学媒体设计（1）常规媒体（黑板）。 （2）多媒体展示。（3）实物
5、投影仪。六、 教学程序设计分为四个阶段：复习巩固；情景导入；新知探究；应用探究。具体过程如下：一、复习来源:数理化网巩固知识准备前面我们学习了等差数列，了解了等差数列的一些简单性质，请同学们回顾一下：等差数列的定义：等差数列的通项：等差数列的性质：特别地：若为等差数列，一定有设计意图：（1）复习巩固前面所学知识，同时为本节内容的学习作一些知识上的准备。（2）特别地，对于与首末距离相等的两项的和相等的回顾必不可少，这为后面推导等差数列前n项和公式做了充分的准备。二、情景导入问题1：建筑工地上一堆圆木，从上到下每层的数目分别为1，2，3，10 . 问共有多少根圆木？（学生一般能很快准确回答，肯定的
6、同时提出问题2，一方面使问题得到延续的同时，也引出了高斯算法）问题2：你能快速算出1+2+3+100吗？（当学生真正体会了高斯算法后再提出问题3）问题3：你能应用高斯算法计算1+2+3+n的结果吗？（学生分组讨论，展示做法）有的同学可能直接按照高斯的算法：（1+n）+( 2+n-1) +(3+n-2)+ 但不知道数的个数是偶数还是奇数，不一定能恰好都配成对。有的同学可能根据上面解法存在的问题，对n 进行分类讨论：n 为偶数： n 为奇数： 最后交流出最佳方法：由 1 + 2 + + n-1 + n n + n-1 + + 2 + 1 （n+1）+（n+1）+ +（n+1）+（n+1）从而初步总
7、结出推导等差数列前n项和的一般方法：倒序相加法。强调：高斯算法本质就是倒序相加法。设计意图：其目的是引出高斯算法，与高斯的故事，与学生产生共鸣的同时也激发了学生继续学习的兴趣。设计意图：巩固高斯算法同时也引出了倒序求和法。为后面作了一定的铺垫。二、新知探究合作展示探究1：等差数列前n项和公式【合作探究】借此东风，引领学生合作交流，推导出等差数列前n项和 可请同学们先根据 1 + 2 + + n-1 + n 来推测一下 有的同学肯定会推测出来： 然后鼓励一下，再让学生分组合作交流，推导出来 思路1： 用两种方法表示 把上式的次序反过来又可以写成 由+，得 = 由此得到等差数列的前n项和的公式思路
8、2：同样把反过来写一次，直接利用前面复习过的等差数列的性质直接相加也可以得到上面的结果。接着请同学们把 把代入中，看能得到什么： 得： 公式巩固：根据下列条件求相应的等差数列的前n项和。（1）（2）（3）探究2：等差数列前n项和公式与关于n的函数关系。引导学生观察公式：的特点（可由学生自主观察归纳，教师总结便于学生记忆。）特别地，对于第二个公式可能让学生继续探究它是一个关于n的什么函数关系？（学生能较快回答）接着我将提出问题：一个等差数列的前n项和公式与关于n的二次函数之间到底是一个什么样的关系呢？问题.已知数列的前n项为，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别
9、是什么？ 【分析】这是一个关于前n项和的逆向问题，想一想的关系，然后列出，看到它们的关系，就会直接得到了。【点评】（1）引领学生总结出已知前n项和，求通项公式的方法；（2）用这种数列的来确定的方法对于任何数列都是可行的，而且还要注意不一定满足由求出的通项表达式，所以最后要验证首项是否满足已求出的. （3） 来源:变式：若求通项公式，并判断它是否为等差数列？（有了前面问题的探究，学生能较快的得到通项，可能有少部分学生把通项合并，可让学生相互交流相互点评）【深入探究】结合此例思考课本45页“探究”：一般地，如果一个数列的前n项和为其中p、q、r为常数，且p0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，
10、它的首项与公差分别是什么？引导分析得出：观察等差数列两个前n项和公式，和，公式本身就不含常数项。所以得到：（1）如果一个数列前n项和 的常数项r不为0，则这个数列一定不是等差数列.（2）如果一个数列前n项和中常数项r为0，则这个数列一定是等差数列.最后结论：数列是等差数列等价于 通过以上对等差数列前n项和公式的两步探究，学生就已经较好的掌握了公式的形式及结构。同时培养了学生的探究能力与探索精神。来源:设计意图：展示探究成果，让学生体会收获的喜悦，同时引导学生思考前n项和能否用基本量来表示呢？这样就顺其自然的得到了另一个公式。设计意图：训练学生运用公式的能力和计算能力。设计意图：培养学生的观察能
11、力与函数的思想，从而引发学生质疑，引出对于下面问题的思考。设计意图：进一步探究前n 项和公式与关于 n的函数关系。同时，让学生体会与通项的关系。设计意图：培养学生严谨的学习态度，强调对的处理。设计意图：四、应用探究拓展延伸问题.12000年11月14日教育部下发了关于在中小学实施“校校通”工程的统治.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多
12、少？ 【分析】对于应用问题，首先应仔细阅读、审清题意。然后，抽象、提炼出相关数据，并分析出它们的本质关系，把实际问题转化为相应的数学问题 【点评】通过此题引领学生逐步按照下列步骤来进行：先阅读题目；引导学生提取有用的信息，构造等差数列模型；写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前n项和公式进行求解。例2；已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？【分析】最直接的思路是利用方程思想：将已知条件代入等差数列前n项和的公式后，可得到两个关于与的二元一次方程，由此可以求得与，从而得到所求前n项和的公式.【引领学生探讨其他解法
13、】总结出解决数列基本问题的几种常用的思想方法：【另法一】可求出所以 从而 代入得： 【另法二】由问题.2的探索知等差数列的前n项和可表示为 利用待定系数法可求出结果（在这里，也可看成是运用了函数思想）设计意图：建立数学模型的思想设计意图：五、课堂小结归纳总结知识线：（1）等差数列前 项和的定义； （2）等差数列前 项和公式；（3）相关的等差数列的性质。思想方法线：（1）待定系数法； （2）方程思想；（3）整体思想；（4）函数思想；（5）分类讨论的思想。题目线：（1）利用等差数列的通项公式、前 项和公式解决关于前 项和的基本问题；（2）利用等差数列的通项公式、前 项和公式解决上述问题的逆向问题；（3）实际问题；（4）相关的综合问题。七、 板书设计 2.3 等差数列的前n项和 一、知识回顾： 2。等差数列前n项和公式的结构特点 二、情景导入 四、应用探究：问题1： 例1：问题2： 例2： 三、新知探究： 课堂小结：1。等差数列前n项和公式：来源:八、
